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Modelos de examen parcial. EX04

Contenido: Modelos de examen: 2° parcial de Análisis Matemático II.

Modelos de examen

Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1) Sea f(x,y) = x½·y½

a- Usando definición de derivada direccional mostrar que ∂f/∂x (0,0) = ∂f/∂y (0,0) = 0

y que ± e1; ± e2 son las únicas direcciones para las cuales existe derivada direccional en el (0, 0)

b- ¿Es contínua en (0, 0)?

c- Es diferenciable En (0, 0).

Problema n° 2) sea g:R² → R/g(u,v) = v·u² + v² y f:R² → ℜ²/f(x,y) = (f1(x,y), f2(x,y)) con u = f1(x,y) = x² + 2·y; v = f2(x,y) definida implícitamente por x³ + v³ - 3·y²·v = 0. Calcular (gof)(1, 0).

Problema n° 3) Hallar los puntos de la superficie donde el plano tangente es perpendicular a la recta

x - 3·y + 2 = 0
2·x + 3·z = 5

Problema n° 4) Encontrar extremos de Z = x4 + y4 - 2·x² + 4·x·y - 2·y²

Problema n° 5) Sea f:R² → R diferenciable en (a, b)/Q´x(a, b) = f´y(a, b) = 0

Demostrar que

Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1) Sean S1 y S2 superficies abiertas regulares y simples incluidas en un abierto de ℜ³, ambas con la misma curva frontera C. Si F = ∇f. ∇g con f:R³ → R y g:R³ → R funciones de clase C¹.

a- Mostrar que F es solenoidal.

b- Si el flujo de F a través de S1 es 3·π, calcular ∫∫ S2 F·ǔ·ds

Problema n° 2) Sea C cualquier camino que une un punto P1 = (x1,y1,z1) de la esfera x² + y² + z² = a² con un punto P2 = (x2,y2,z2) de la esfera de radio b. Mostrar que si F = 5·||r³||·r, donde r = (x,y,z) → F·dx = b5 - a5

Problema n° 3) Calcular la masa total de la superficie semiesférica Z = (r² - x² - y²)½ si la densidad está dada por δ (x,y,z) = x² + y²

4)

a- Calcular ΦCy·dx + (x + y)·dy siendo C la frontera del recinto D = {(x,y)/y - x = 0; y = 0; y = 1; y² = x - 1}

b- Verificar el teorema de Green.

Problema n° 5) Sea φ: ℜ³ → R/φ ⊂ C¹. Calcular ∫∫S ∇φ·ǔ·ds siendo φ (x,y,z) = x·y·z y S la superficie limitada por el cilindro x² + y² = 16 en el primer octante y para 0 ≤ z ≤ 5.

Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1) Sea V un volumen limitado por la superficie S. Probar estableciendo condiciones apropiadas para el campo escalar Ø y el campo vectorial G la igualdad

∫∫∫V ∇Φ·∇x·g·dv = ∫∫S g·x·∇Φ·U·dS

Problema n° 2) Sea

F(x,y,z) =[-y/(x² + y²); x/(x² + y²); 0]

a- Demostrar que F es irrotacional.

b- Demostrar que F es conservativo.

Problema n° 3) Calcular

a- Integral a largo de la curva x2/3 + y2/3 = 2.

b- a lo largo de la elipse x²/4 + y²/9 = 1.

Problema n° 4) Calcular el área de la porción de cono x² + y² = 3·z², interior al cilindro x² + y² = 4·y con z ≥ 0

Problema n° 5) Sea la curva C: X(t) = (2·cos t, 2·sen t, 2·sen t) con t ⊂ [0,2·π] y F ⊂ C¹/rot F = (z, 0, 1 - x).

a- Exprese C como intersección de dos superficies.

b- Calcule la circulación de F a lo largo de C.

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