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Modelos de examen parcial. EX07

Contenido: Modelos de examen: 2° parcial de Análisis Matemático II.

Modelos de examen

Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1) Calcular el área de la superficie generada por la rotación, alrededor del eje y, del arco de curva y³ - 3·x = 0, comprendido entre los puntos (0, 0) y (9, 3).

y³ - 3·x = 0 ⇒ y³/3 = x = f(y)

Aplicamos:

Cálculos

Calculamos:

Cálculos

Problema n° 2) Calcular la integral del campo:

sobre la curva y = ex, desde el punto (1, e) hasta el punto (0, 1).

Verificamos las derivadas parciales cruzadas:

Cumple para (x,y) ≠ (0,0).

Verificamos:

F(X·t) = tα·F(X) → α ≠ -1

Cálculos

F(X·t) = t1/3·F(X) → α ≠ -1

Se trata de un campo homogéneo y conservativo para (x,y) ≠ (0,0).

φ(x,y) = [1/(1 + 1/3)]·X·F(X)

Cálculos

Calculamos la diferencia de potencial:

Problema n° 3) Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie X(u,v) = (v² - u²,u + v,v²), en el punto (3, -1, 4).

Verificamos el punto:

v² - u² = 3

u + v = -1
v² = 4 ⇒ v = ±2

(±2)² - u² = 3 ⇒ u² = 4 - 3 ⇒ u = ±1

u + v = -1 ⇒ 1 - 2 = -1

Resulta para:

u = 1

v = -2

Entonces:

X(1,-2) = (3,-1,4)

Calculamos el vector normal:

Xu = (-2·u, 1, 0) ⇒ Xu(1, -2) = (-2, 1, 0)

Xv = (2·v, 1, 2·v) ⇒ Xv(1, -2) = (-4, 1, -4)

XuxXv =

E1

E2

E3

= (-4, -8, 2)

-2

1

0

-4

1

-4

Calculamos la ecuación del plano:

Z·XuxXv = X(1,-2)·XuxXv

(x,y,z)·(-4,-8,2) = (3,-1,4)·(-4,-8,2)

-4·x - 8·y + 2·z = -12 + 8 + 8

2·x + 4·y - z = -2

Problema n° 4) Verificar el teorema de Stokes, si F = (y,x²,z·x) y S es el hemisferio x² + y² + z² = 4, z ≥ 0.

Aplicamos:

= ∫∫S rot F·dS

Calculamos el primer miembro, parametrizamos la frontera sobre el plano z = 0:

C(t) = (2·cos t,2·sen t;0)

0 ≤ t ≤ 2·π

Derivamos:

C´(t) = (-2·sen t,2·cos t;0)

F(C(t)) = (2·sen t,(-2·cos t)²,0·(-2·cos t)) = (2·sen t,4·cos² t,0)

Armamos la integral:

Cálculos

El primer miembro resulta:

= -4·π

Para el segundo miembro calculamos primero el rotor de F:

rot F =

E1

E2

E3

= (0, -z, 2·x - 1)

∂/∂x

∂/∂y

∂/∂z

y

z·x

Parametrizamos la superficie, pero elegimos parametrizar el círculo base que tiene el mismo borde:

X(r,t) = (r·cos t,r·sen t,0)

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤ t ≤ 2·π

Calculamos el vector normal:

Xr = (cos t, sen t, 0)

Xt = (-r·sen t, r·cos t, 0)

n =

E1

E2

E3

= (0, 0, r·cos² t + r·sen² t) = (0, 0, r)

cos t

sen t

0

-r·sen t

r·cos t

0

n = (0, 0, r)

Como r es siempre positivo el vector normal apunta hacía la parte positiva de z, significa página interior de la superficie elegida.

∫∫S rot F·dS = ∫∫S1 rot F·dS

rot F(X(r,t)) = (0,0,2·r·cos t - 1)

∫∫S rot F·dS = ∫∫D (0,0,2·r·cos t - 1)·(0,0,r)·dt·dr = ∫∫D (2·r²·cos t - r)·dt·dr

Cálculos

El segundo miembro resulta:

∫∫S rot F·dS = -4·π

Verificándose:

= ∫∫S rot F·dS = -4·π

Problema n° 5) Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales:

a - x·dy + y·dx = ex·dx, y(1) = 1

b - y" - 3·y´ = e-x + x² + 2

a -

x·dy = -y·dx + ex·dx ⇒ x·dy = (-y + ex)·dx ⇒ x·dy = (-y + ex)·dx

x·y - ex = c ⇒ x·y = ex + c ⇒ y = (ex + c)/x

Para y(1) = 1:

1·1 = e¹ + c ⇒ 1 = e + c ⇒ 1 - e = c

La solución particular es:

yp = (ex + 1 - e)/x

b - Hallamos las raíces para la integral homogénea:

λ² - 3·λ = 0 ⇒ (λ - 3)·λ = 0

λ1 = 0

λ2 = 3

La integral homogénea es:

y* = C1·e0·x + C2·e3·x ⇒ y* = C1 + C2·e3·x

y = a·x³ + b·x² + c·x + d·e-x

y´ = 3·a·x² + 2·b·x + c - d·e-x

y" = 6·a·x + 2·b + d·e-x

Debe cumplir:

y" - 3·y´ = e-x + x² + 2

6·a·x + 2·b + d·e-x - 9·a·x² - 6·b·x - 3·c + 3·d·e-x) = e-x + x² + 2

4·d·e-x - 9·a·x² + 6·a·x - 6·b·x + 2·b - 3·c = e-x + x² + 2

4·d·e-x = e-x ⇒ 4·d = 1 ⇒ d = ¼
- 9·a·x² = x² ⇒ - 9·a = 1 ⇒ a = -1/9
6·a·x - 6·b·x = 0·x ⇒ 6·a - 6·b = 0 ⇒ a - b = 0 ⇒ b = a ⇒ b = -1/9
2·b - 3·c = 2 ⇒ 3·c = 2·b - 2 ⇒ c = (2·b - 2)/3 ⇒ c = (2·(-1/9) - 2)/3 ⇒ c = -20/27

y = -1·x³/9 - 1·x²/9 - 20·x/27 + e-x/4

La integral general es:

y = C1 + C2·e3·x - x³/9 - x²/9 - 20·x/27 + e-x/4

Problema n° 6) Calcular el flujo saliente del campo F(X) = (y,z,x·z) a través de la frontera del sólido T definido por las siguientes desigualdades:

x² + y² ≤ z ≤ 1, x ≥ 0.

Problema n° 7) Demostrar que un campo central F = α (r)·X definido en un abierto conexo U ⊆ ℜn es conservativo en U.

 

Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

Problema n° 1) Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie X(u,v) = (v·u³,v² - u,v²), en el punto (1,2,1).

Problema n° 2) Calcular el área de la superficie generada por la rotación, alrededor del eje x, del arco de curva y² - 2·x = 0, comprendido entre los puntos (2,2) y (8,4).

Problema n° 3) Calcular la integral del campo:

Modelos de examen

sobre la hipérbola (y - 1)·(x - 2) = 1, desde el punto (0,½) hasta el punto (1,0).

Problema n° 4) Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales:

a - x·y" - x²·cos x = y, y(1) = 1

b - y" + 2·y´ = 3 + sen x

Problema n° 5) Calcular el flujo saliente del campo F(X) = (x·y,x,y) a través de la frontera del sólido T definido por las siguientes desigualdades:

x² + y² ≤ z²

0 ≤ z ≤ 2

x ≥ 0

y ≥ 0

Problema n° 6) Verificar el teorema de Stokes, si F = (y, - x.z, z²) y S es la porción de paraboloide z = x² + y², z ≤ 9.

Problema n° 7) Demostrar que si F es un campo homogéneo de grado α ≠ -1 en un abierto conexo U ⊆ ℜ², y su matriz jacobiana es simétrica, entonces el campo F es conservativo en U.

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