Casos de Factoreo: cuatrinomio cubo perfecto. Factorización
Cuarto caso de factoreo
Un cuatrinomio cubo perfecto tiene la siguiente forma:
a³ ± 3·a²·b + 3·a·b² ± b³
Este cuatrinomio es el resultado de aplicar la propiedad distributiva al cubo del binomio:
(a ± b)³
Así:
(a ± b)³ = a³ ± 3·a²·b + 3·a·b² ± b³
Para factorearlo, primero debemos buscar los términos elevados al cubo y hallar la raíz cúbica de ellos, en la ecuación los términos son a³ y b³:
a = ³√a³
b = ³√b³
A los otros dos términos los dividimos por 3 y verificamos que los resultados sean:
a·a·b y a·b·b
Luego armamos el binomio:
(a ± b)³
Con respecto al signo ± dependerá del signo de b, como regla debemos tomar el signo como sigue:
(a + b)³ = a³ + 3·a²·b + 3·a·b² + b³
(a - b)³ = a³ - 3·a²·b + 3·a·b² - b³
• Nota: o todos los términos son positivos o son negativos únicamene los términos dónde el exponente de b es impar.
Ejemplo de resolución de un cuatrinomio cubo perfecto
8·a³·x6 - 36·a²·x4·y³ + 54·a·x²·y6 - 27·y9
Solución
Observamos que es un cuatrinomio (4 monomios o términos) y que los término "8·a³·x6" y "27·y9", por lo que hallamos su raíz cúbica:
³√8·a³·x6 = 2·a·x²
³√-27·y9 = -3·y³
Luego dividimos el segundo y el tercer término entre 3 y analizamos:
(-36·a²·x4·y³)/3 = -12·a²·x4·y³ = -(2·a·x²)²·3·y³
(54·a·x²·y6)/3 = 18·a·x²·y6 = 2·a·x²·(3·y³)²
Queda verificado, presentamos el resultado:
8·a³·x6 - 36·a²·x4·y³ + 54·a·x²·y6 - 27·y9 = (2·a·x² - 3·y³)³
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
¿Qué es el cuatrinomio cubo perfecto?