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Guía de ejercicios resueltos de casos de factoreo. TP01

Factoreo: Solución de los ejercicios n° 1 a 7 factor común, trinomio cuadrado perfecto, cuatrinomio cubo perfecto, diferencia de cuadrados de igual base, diferencia de potencias de igual grado. Problemas resueltos.

Problemas n° 1 a 7 de casos de factoreo.

Problema n° 1) Factorear las siguientes expresiones aplicando factor común:

a) 125.a4.b5.c5 - 45.a5.b³.c4.x³ + 5.a³.b².c4 - 300.a4.b².c8.x - 10.a³.b².c5

b) 3.a².x³.y + 4.a5.x².y³ - 6.a4.x6 - 10.a.x4

c) 3.m6.p4.q² - 9.m5.p².q.x + 3.m7.p³.q.x + 3.m4.p².q - 6.m5.p4.q.x².y

Solución

a) 5.a³.b².c4.(25.a.b³.c - 9.a².b.x³ + 1 - 60.a.c4.x - 2.c)

b) a.x².(3.a.x.y + 4.a4. y³ - 6.a³.x4 - 10.x²)

c) 3.m4.p².q.(m².p².q - 3.m.x + m³.p.x + 1 - 2.m.p².x².y)

 

Problema n° 2) Factorear las siguientes expresiones por grupos:

a) 2.a.x + 2.b.x + 5.a - a.y - b.y + 5.b

b) a².y + a.b² - a.x.y - b².x

c) 10.a.m².x.z - 15.b.m².x.z + 10.a.x - 15.b.x - 8.a.m².y.z + 12.b.m².y.z - 8.a.y + 12.b.y

d) 5.a.m.x/3 + 20.a.m.y - 2.b.m.x/3 - 8.b.m.y - 10.a.n.x/9 - 40.a.n.y/3 + 4.b.n.x/9 + 16.b.n.y/3

Solución

a) (2.a.x + 2.b.x) - (a.y + b.y) + (5.a + 5.b) =

= 2.x.(a + b) - y.(a + b) + 5.(a + b) =

= (a + b).(2.x - y + 5)

 

b) (a².y + a.b²) - (a.x.y + b².x) =

= a.(a.y + b²) - x.(a.y + b²) =

= (a.y + b²).(a - x)

 

c) 5.m².x.z.(2.a - 3.b) + 5.x.(2.a - 3.b) - 4.m².y.z.(2.a - 3.b) - 4.y.(2.a - 3.b) =

= (2.a - 3.b).(5.m².x.z + 5.x - 4.m².y.z - 4.y) =

= (2.a - 3.b).[(5.m².x.z + 5.x) - (4.m².y.z + 4.y)] =

= (2.a - 3.b).[5.x.(m².z + 1) - 4.y.(m².z + 1)] =

= (2.a - 3.b).(m².z + 1).(5.x - 4.y)

 

d) (5.a.m.x/3 + 20.a.m.y) - (2.b.m.x/3 + 8.b.m.y) - (10.a.n.x/9 + 40.a.n.y/3) + (4.b.n.x/9 + 16.b.n.y/3) =

= 5.a.m.(x/3 + 4.y) - 2.b.m.(x/3 + 4.y) - (10/3).a.n.(x/3 + 4.y) + (4/3).b.n.(x/3 + 4.y) =

= (x/3 + 4.y).(5.a.m - 2.b.m - (10/3).a.n + (4/3).b.n) =

= (x/3 + 4.y).[m.(5.a - 2.b) - (2/3).n.(5.a - 2.b)] =

= (x/3 + 4.y).[(5.a - 2.b).(m - 2.n/3)]

 

 

Problema n° 3) Factorear las siguientes expresiones aplicando trinomio cuadrado perfecto:

a) a6/4 + 3.a³.m².n + 9.m4.n²

b) a4 + p4/4 + a².p²

c) 9.x6/25 + 4.y² - 12.x³.y/5

d) -3.x².y6.m/5 + m²/4 - 9.x4.y12

Solución

a) Como:

a6/4 = (a³/2)²

9.m4.n² = (3.m².n)²

3.a³.m².n = 2.(a³/2).(3.m².n)

Por lo tanto:

(a³/2 + 3.m².n)²

 

b) Como:

a4 = (a²)²

p4/4 = (p²/2)²

a².p² = 2.a².p²/2

Por lo tanto:

(a² + p²/2)²

 

c) Como:

9.x6/25 = (3.x³/5)²

4.y² = (2.y)²

- 12.x³.y/5 = -2.2.y.3.x³/5

Por lo tanto:

(2.y + 3.x³/5)²

 

d) Si bien:

9.x4.y12 = (3.x².y6

m²/4 = (m/2)²

No se cumple:

-3.x².y6.m/5 ≠ - 2.3.x².y³.m/2

Además uno de los términos al cuadrado es negativo.

 

Problema n° 4) Factorear las siguientes expresiones aplicando cuatrinomio cubo perfecto:

a) 64.m6 + 96.m4.n + 48.m².n² + 8.n³

b) x³/27 - x².a/3 + x.a² - a³

c) 0,125 - 0,75.x.y + 1,5.x².y² - x³.y³

Recordemos la ecuación del cuatrinomio cubo perfecto:

(a ± b)³ = a³ ± 3.a².b + 3.a.b² ± b³

Solución

a) 64.m6 + 96.m4.n + 48.m².n² + 8.n³

Primero identificamos los términos elevados al cubo y los expresamos como potencias de 3:

64.m6 = (4.m²)³

8.n³ = (2.n)³

De aquí se deduce fácilmente que:

96.m².n = (3/3).96.m4.n = 3.32.m4.n = 3.16.2.m4.n = 3.(4.m²)².2.n

48.m².n² = (3/3).48.m².n² = 3.16.m².n² = 3.4.4.m².n² = 3.4.m².(2.n)²

Por lo tanto los términos del binomio al cubo serán:

a = 4.m²

b = 2.n

Finalmente armamos el binomio al cubo:

(4.m² + 2.n) = 64.m6 + 96.m4.n + 48.m².n² + 8.n³

 

b) x³/27 - x².a/3 + x.a² - a³

Primero identificamos los términos elevados al cubo y los expresamos como potencias de 3:

x³/27 = (x/3)³

-a³ = (-a)³

De aquí se deduce fácilmente que:

-x².a/3 = (3/3).(-x².a/3) = 3.(x²/9).(-a) = 3.(x/3)².(-a)

x.a² = (3/3).x.a² = 3.(x/3).a² = 3.(x/3).(-a)²

Por lo tanto los términos del binomio al cubo serán:

a = x/3

b = -a

Finalmente armamos el binomio al cubo:

(x/3 - a) = x³/27 - x².a/3 + x.a² - a³

 

c) 0,125 - 0,75.x.y + 1,5.x².y² - x³.y³

Primero identificamos los términos elevados al cubo y los expresamos como potencias de 3:

0,125 = 0,5³

-x³.y³ = (-x.y)³

De aquí se deduce fácilmente que:

-0,75.x.y = (3/3).(-0,75.x.y) = 3.0,25.(-x.y) = 3.0,5².(-x.y)

1,5.x².y² = (3/3).1,5.x².y² = 3.0,5.x².y² = 3.0,5.(-x.y)²

Por lo tanto los términos del binomio al cubo serán:

a = 0,5

b = -x.y

Finalmente armamos el binomio al cubo:

(0,5 - x.y) = 0,125 - 0,75.x.y + 1,5.x².y² - x³.y³

 

Problema n° 5) Factorear las siguientes expresiones aplicando diferencia de cuadrados:

a) 144.m6 - 121.x8.y4

b) -n²/4 + a4.b6/9

c) x².y² - (x² + y²)²

d) a6.b²/4 - 0,01.m8.n4

e) (x - y)² - a²

f) 3.z4.m² - 2.y6

Solución

a) (12.m³)² - (11.x4.y²)² = (12.m³ - 11.x4.y²).(12.m³ + 11.x4.y²)

 

b) (a².b³/3)² - (n/2)² = (a².b³/3 - n/2).(a².b³/3 + n/2)

 

c) (x.y)² - (x² + y²)² = [x.y - (x² + y²)].[x.y + (x² + y²)]

 

d) (a³.b/2)² - (0,1.m4.n²)² = (a³.b/2 - 0,1.m4.n²).(a³.b/2 + 0,1.m4.n²)

 

e) (x - y)² - a² = (x - y - a).(x - y + a)

 

f) 3.z4.m² - 2.y6 = (√3.z².m)² - (√2.y³)² = (√3.z².m - √2.y³).(√3.z².m + √2.y³)

 

Problema n° 6) Factorear las siguientes expresiones aplicando suma o diferencia de potencias de igual grado:

Solución

Para los siguientes casos debemos tener en cuenta las siguientes consideraciones:

  1. Suma de potencias de igual grado con exponente impar → dividir por la suma de sus bases.
  2. Diferencia de potencias de igual grado con exponente impar → dividir por la diferencia de sus bases.
  3. Diferencia de potencias de igual grado con exponente par → dividir por la suma o por la diferencia de sus bases.
  4. Suma de potencias de igual grado de exponente par → no se puede dividir.
  5. Ver teoría en: Sumas o restas de potencias de igual grado

A continuación se divide como polinomios.

a) x7 + a7 → dividimos por (x + a)

x7

0

0

0

0

0

0

+ a7

x + a

- x7

- x6.a

x6 - x5.a + x4.a² - x³.a³ + x².a4 - x.a5 + a6

0

- x6.a

x6.a

+ x5.a²

0

+ x5.a²

- x5.a²

- x4.a³

0

- x4.a³

x4.a³

+ x³.a4

0

+ x³.a4

- x³.a4

- x².a5

0

- x².a5

x².a5

+ x.a6

0

+ x.a6

+ a7

- x.a6

- a7

0

0

x7 + a7 = (x + a).(x6 - x5.a + x4.a² - x³.a³ + x².a4 - x.a5 + a6)

 

b) a³ + 8 = a³ + 2³ → dividimos por (a + 2)

0

0

+ 8

a + 2

- a³

- a².2

a² - a.2 + 4

0

- a².2

a².2

+ a.4

0

+ a.4

+ 8

- a.4

- 8

0

0

a³ + 8 = (a + 2).(a² - a.2 + 4)

 

c) 27 + y³ = 3³ + y³ → dividimos por (3 + y)

27

0

0

+ y³

3 + y

- 27

- 9.y

9 - 3.y + y²

0

- 9.y

9.y

+ 3.y²

0

+ 3.y²

+ y³

- 3.y²

- y³

0

0

27 + y³ = (3 + y).(9 - 3.y + y²)

 

d) x5 + 1/32 = x5 + 1/25 → dividimos por (x + 1/2)

x5

0

0

0

0

+ 1/32

x + 1/2

- x5

- x4/2

x4 - x³/2 + x²/4 - x/8 +1/16

0

- x4/2

x4/2

+ x³/4

0

+ x³/4

- x³/4

- x²/8

0

- x²/8

x²/8

x/16

0

x/16

+ 1/32

- x/16

- 1/32

0

0

x5 + 1/32 = (x + 1/2).(x4 - x³/2 + x²/4 - x/8 +1/16)

 

e) x³ - 1/8 = x³ - 1/2³ → dividimos por (x - 1/2)

0

0

- 1/8

x - 1/2

- x³

+ x²/2

x² + x/2 + 1/4

0

+ x²/2

- x²/2

+ x/4

0

+ x/4

- 1/8

- x/4

+ 1/8

0

0

x³ - 1/8 = (x - 1/2).(x² + x/2 + 1/4)

 

f) a4 - b4.c4 = a4 - (b.c)4 → dividimos por (a - b.c) o por (a + b.c)

En éste caso podemos aplicar diferencia de cuadrados:

a4 - (b.c)4 = (a²)² - [(b.c)²]² = [a² - (b.c)²].[a² + (b.c)²] = (a - b.c).(a + b.c).[a² + (b.c)²]

a4 - b4.c4 = (a - b.c).(a + b.c).[a² + (b.c)²]

 

g) x³ + 7 → No se puede factorear.

 

h) a10 - x5 = (a²)5 - x5 → dividimos por (a² - x)

a10

0

0

0

0

- x5

a² - x

- a10

+ a8.x

a8 + a6.x + a4.x² + a².x³ + x4

0

+ a8.x

- a8.x

+ a6.x²

0

+ a6.x²

- a6.x²

+ a4.x³

0

+ a4.x³

- a4.x³

+ a².x4

0

+ a².x4

- a².x4

+ x5

0

0

a10 - x5 = (a² - x).(a8 + a6.x + a4.x² + a².x³ + x4)

 

i) x6 - y6 → dividimos por (x - y) o por (x + y)

x6

0

0

0

0

0

- y6

x - y

- x6

+ x5.y

x5 + x4.y + x³.y² + x².y³ + x.y4 + y5

0

+ x5.y

- x5.y

+ x4.y²

0

+ x4.y²

- x4.y²

+ x³.y³

0

+ x³.y³

- x³.y³

+ x².y4

0

+ x².y4

- x².y4

+ x.y5

0

+ x.y5

- y6

- x.y5

+ y6

0

0

x6 - y6 = (x - y).(x5 + x4.y + x³.y² + x².y³ + x.y4 + y5)

En una segunda división, ahora por (x + y):

x5

+ x4.y

+ x³.y²

+ x².y³

+ x.y4

+ y5

x + y

- x5

- x4.y

x4 + x².y² + y4

0

0

+ x³.y²

+ x².y³

- x³.y²

- x².y³

0

0

+ x.y4

+ y5

- x.y4

- y5

0

0

x6 - y6 = (x - y).(x + y).(x4 + x².y² + y4)

 

j) x6 + y12 = (x²)³ + (y4)³ → dividimos por (x² + y4), (en la suma sólo se puede factorear si la potencia es impar).

+ x6

0

0

+ y12

x² + y4

- x6

- x4.y4

x4 - x².y4 + y8

0

- x4.y4

+ x4.y4

+ x².y8

0

+ x².y8

- x².y8

- y12

0

0

x6 + y12 = (x² + y4).(x4 - x².y4 + y8)

 

k) a7 - 128.x7 = a7 - 27.x7 = a7 - (2.x)7 → dividimos por (a - 2.x)

+a7

0

0

0

0

0

0

-128x7

a - 2x

-a7

+2x.a6

a6 + 2x.a5 + 4x².a4 + 8x³.a³ + 16x4.a² + 32x5.a + 64x6

0

+2x.a6

-2x.a6

+4x².a5

0

+4x².a5

-4x².a5

+8x³.a4

0

+8x³.a4

-8x³.a4

+16x4.a³

0

+16x4.a³

-16x4.a³

+32x5.a²

0

+32x5.a²

-32x5.a²

+64x6.a

0

+64x6.a

-64x6.a

+128x7

0

0

a7 - 128.x7 = (a - 2.x).(a6 + 2.x.a5 + 4.x².a4 + 8.x³.a³ + 16.x4.a² + 32.x5.a + 64.x6)

 

l) x4 - 3 → No se puede factorear.

 

Problema n° 7) Factorear las siguientes expresiones:

a) 5.x² - 10.x.y + 5.y²

b) 3.x9.y7 - 12.x7.y9

c) a³ - a² - a + 1

Solución

a) 5.x² - 10.x.y + 5.y² = 5.(x² - 2.x.y + y²) = 5.(x - y)²

b) 3.x9.y7 - 12.x7.y9 = 3.x7.y7.(x² - 4.y²) = 3.x7.y7.(x - 2.y).(x + 2.y)

c) a³ - a² - a + 1 = (a³ - a²) - (a - 1) = a².(a - 1) - (a - 1) = (a² - 1).(a - 1) = (a - 1).(a + 1).(a - 1) = (a - 1)².(a + 1)

 

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