Problema n° 9 de casos de factoreo o factorización - TP02
Enunciado del ejercicio n° 9
Reducir a su más simple expresión:
| 2·n·m + 10·n - 6·m - 30 | = |
| 2·n³ - 54 |
Solución
Para proceder de forma ordenada y que se puedan observar los pasos comenzamos por extraer factor común "2" en numerador y denominador:
| 2·n·m + 10·n - 6·m - 30 | = | 2·(n·m + 5·n - 3·m - 15) | = |
| 2·n³ - 54 | 2·(n³ - 27) |
Simplificamos:
| 2·(n·m + 5·n - 3·m - 15) | = | n·m + 5·n - 3·m - 15 | = |
| 2·(n³ - 27) | n³ - 27 |
El denominador es una diferencia de potencias de igual grado con exponente impar, por lo tanto es divisible por la diferencia de sus bases:
| n·m + 5·n - 3·m - 15 | = | n·m + 5·n - 3·m - 15 | = |
| n³ - 27 | n³ - 3³ |
Dividimos:
| n³ | 0 | 0 | -27 | n - 3 |
| -n³ | +3·n² | n² + 3·n + 9 | ||
| 0 | +3·n² | 0 | ||
| -3·n² | +9·n | |||
| 0 | +9·n | -27 | ||
| -9·n | +27 | |||
| 0 | 0 |
Así:
n³ - 27 = (n - 3)·(n² + 3·n + 9)
| n·m + 5·n - 3·m - 15 | = | n·m + 5·n - 3·m - 15 | = |
| n³ - 27 | (n - 3)·(n² + 3·n + 9) |
En el numerador agrupamos los términos que tengan factor común m y "5":
| n·m + 5·n - 3·m - 15 | = | (n·m - 3·m) + (5·n - 15) | = |
| (n - 3)·(n² + 3·n + 9) | (n - 3)·(n² + 3·n + 9) |
Luego extraemos factor común:
| (n·m - 3·m) + (5·n - 15) | = | m·(n - 3) + 5·(n - 3) | = |
| (n - 3)·(n² + 3·n + 9) | (n - 3)·(n² + 3·n + 9) |
A continuación extraemos factor común "n - 3":
| m·(n - 3) + 5·(n - 3) | = | (m + 5)·(n - 3) | = |
| (n - 3)·(n² + 3·n + 9) | (n - 3)·(n² + 3·n + 9) |
Simplificamos:
| (m + 5)·(n - 3) | = | (m + 5) | = |
| (n - 3)·(n² + 3·n + 9) | (n² + 3·n + 9) |
Resultado final:
| 2·n·m + 10·n - 6·m - 30 | = | m + 5 |
| 2·n³ - 54 | n² + 3·n + 9 |
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo factorizar expresiones algebraicas