Problema n° 10 de casos de factoreo o factorización - TP02
Enunciado del ejercicio n° 10
Reducir a su más simple expresión:
| 3·a³ + 24 | = |
| a³ - 2·a² + 4·a - a²·b + 2·a·b - 4·b |
Solución
En el numerador extraemos factor común "3":
| 3·a³ + 24 | = | 3·(a³ + 8) | = |
| a³ - 2·a² + 4·a - a²·b + 2·a·b - 4·b | a³ - 2·a² + 4·a - a²·b + 2·a·b - 4·b |
El numerador es una suma de potencias de igual grado con exponente impar, por lo tanto es divisible por la suma de sus bases:
Dividimos:
| a³ | 0 | 0 | +8 | a + 2 |
| -a³ | -2·a² | a² - 2·a + 4 | ||
| 0 | -2·a² | 0 | ||
| +2·a² | +4·a | |||
| 0 | +4·a | +8 | ||
| -4·a | -8 | |||
| 0 | 0 |
Así:
a³ + 8 = (a + 2)·(a² - 2·a + 4)
| 3·a³ + 24 | = | 3·(a + 2)·(a² - 2·a + 4) | = |
| a³ - 2·a² + 4·a - a²·b + 2·a·b - 4·b | a³ - 2·a² + 4·a - a²·b + 2·a·b - 4·b |
A continuación extraemos factor común en grupo en el denominador:
| 3·(a + 2)·(a² - 2·a + 4) | = | 3·(a + 2)·(a² - 2·a + 4) | = |
| a³ - 2·a² + 4·a - a²·b + 2·a·b - 4·b | a·(a² - 2·a + 4) - b·(a² - 2·a + 4) |
Nuevamente extraemos factor común en grupos:
| 3·(a + 2)·(a² - 2·a + 4) | = | 3·(a + 2)·(a² - 2·a + 4) | = |
| a·(a² - 2·a + 4) - b·(a² - 2·a + 4) | (a² - 2·a + 4)·(a - b) |
Simplificamos:
| 3·(a + 2)·(a² - 2·a + 4) | = | 3·(a + 2) | = |
| (a² - 2·a + 4)·(a - b) | (a - b) |
El resultado final es:
| 3·a³ + 24 | = | 3·(a + 2) |
| a³ - 2·a² + 4·a - a²·b + 2·a·b - 4·b | a - b |
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo factorizar expresiones algebraicas