Problema n° 2 de funciones lineales - TP01
Enunciado del ejercicio n° 2
Hallar las ecuaciones implícita y explícita de las siguientes rectas y graficar:
a) Pasa por el punto P(2; 2) y es paralela a la recta de ecuación 3·x - 2·y + 1 = 0.
b) Pasa por el punto P(-1; 3) y es perpendicular a la recta de ecuación -3·x/2 + 5·y/6 - 8 = 2.
c) r1 pasa por el punto Q1(2; 3) y r2 pasa por el punto Q2(-2; -3), sabiendo que son perpendiculares.
a)
Desarrollo
Datos:
P(2; 2)
3·x - 2·y + 1 = 0
Solución
Expresamos la segunda recta en forma explícita:
3·x - 2·y + 1 = 0
3·x + 1 = 2·y
2·y = 3·x + 1
y = (3·x + 1)/2
y = 3·x/2 + ½
La pendiente de la segunda recta es:
m2 = 3/2
La ordenada al origen es:
b2 = ½
Si la recta buscada es paralela a la segunda recta, entonces:
m1 = m2
Ahora utilizamos la fórmula para generar la ecuación de una recta con la pendiente y un punto:
y - y1 = m1·(x - x1)
Reemplazando:
y - 2 = (3/2)·(x - 2)
y - 2 = (3/2)·x - (3/2)·2
y - 2 = 3·x/2 - 3
y = 3·x/2 - 3 + 2
Resultado, la ecuación explícita es:
y = 3·x/2 - 1
m1 = 3/2
b1 = -1
Resultado, la ecuación implícita es:
y - 3·x/2 + 1 = 0
La gráfica es:
Gráfica de rectas paralelas
b)
Desarrollo
Datos:
P(-1; 3)
-3·x/2 + 5·y/6 - 8 = 2
Solución
Expresamos la segunda recta en forma explícita:
-3·x/2 + 5·y/6 = 8 + 2
5·y/6 = 3·x/2 + 10
y = 6·(3·x/2 + 10)/5
y = (18·x/2 + 60)/5
y = (9·x + 60)/5
y = 9·x/5 + 60/5
y = 9·x/5 + 12
La pendiente de la segunda recta es:
m2 = 9/5
La ordenada al origen es:
b2 = 12
Si la recta buscada es perpendicular a la segunda recta, entonces:
m1 ⊥ m2 ⇒ m1 = -1/m2
Entonces:
m1 = -1/(9/5) = -5/9
Ahora utilizamos la fórmula para generar la ecuación de una recta con la pendiente y un punto:
y - y1 = m1·(x - x1)
Reemplazando:
y - 3 = (-5/9)·(x - (-1))
y - 3 = (-5/9)·(x + 1)
y - 3 = -5·x/9 - 5/9
y = -5·x/9 - 5/9 + 3
y = -5·x/9 + (- 5 + 3·9)/9
y = -5·x/9 + (- 5 + 27)/9
Resultado, la ecuación explícita es:
y = -5·x/9 + 22/9
m1 = -5/9
b1 = 22/9
Resultado, la ecuación implícita es:
y + 5·x/9 - 22/9 = 0
La gráfica es:
Gráfica de rectas perpendiculares
c)
Desarrollo
Datos:
Q1(2; 3)
Q2(-2; -3)
r1 ⊥ r2
Solución
Dado que las rectas son perpendiculares, sus pendientes son:
m1 = -1/m2
r1: y - y1 = m1·(x - x1)
r2: y - y2 = m2·(x - x2) ⇒ y - y2 = (-1/m1)·(x - x2)
r1: y - 3 = m1·(x - 2)
r2: y - (-3) = (-1/m1)·[x - (-2)] ⇒ y + 3 = (-1/m1)·(x + 2)
Despejamos la pendiente m1 de la ecuación r1:
r1: y - 3 = m1·(x - 2)
m1 = (y - 3)/(x - 2) (1)
Y la reemplazamos en la ecuación de r2:
y + 3 = {-1/[(y - 3)/(x - 2)]}·(x + 2)
Luego resolvemos algebraicamente:
y + 3 = [-(x - 2)/(y - 3)]·(x + 2)
(y + 3)·(y - 3) = -(x - 2)·(x + 2) (2)
y² - 3² = -(x² - 2²)
y² - 9 = -(x² - 4)
y² - 9 = -x² + 4
y² + x² = 4 + 9
y² + x² = 13
Todos los puntos que satisfagan ésta ecuación corresponden a rectas perpendiculares que pasan por los puntos citados. Observando la ecuación (2) obtenemos los puntos que cumplen con la ecuación.
Para y = 3, tenemos:
(3)² + x² = 13
9 + x² = 13
x² = 13 - 9
x² = 4
x1 = 2
x2 = -2
Formamos los puntos:
Q1(2; 3) se descarta, está dado en el enunciado.
P1(-2; 3)
Para y = -3, tenemos:
(-3)² + x² = 13
9 + x² = 13
x² = 13 - 9
x² = 4
x1 = 2
x2 = -2
Formamos los puntos:
Q2(-2; -3) se descarta, está dado en el enunciado.
P2(2; -3)
P1 y P2 son puntos de intersección de distintos pares de rectas perpendiculares, con cualquiera de ellos y los datos del enunciado podemos formar un par de rectas perpendiculares que pasen por los puntos Q1 y Q2
Tomemos P2 y reemplacemos en la ecuación de la pendiente (2):
m1 = (y - 3)/(x - 2)
m1 = (-3 - 3)/(2 - 2)
m1 = -6/0 ⟶ ∞
¡Solución indeterminada! Correcto una pendiente es paralela al eje Y.
Usemos P1 y reemplacemos en la ecuación (2):
m1 = (y - 3)/(x - 2)
m1 = (3 - 3)/(-2 - 2)
m1 = -0/4 ⟶ 0
Pendiente paralela el eje X, cumple con la condición de perpendicularidad.
Las ecuaciones de las rectas serán:
r1: y - 3 = m1·(x - 2)
r1: y - 3 = 0·(x - 2)
Resultado, la ecuación implícita es:
r1: y - 3 = 0
Resultado, la ecuación explícita es:
r1: y = 3 (paralela el eje X)
r2: y + 3 = (-1/m1)·(x + 2)
r2: (y + 3)·(-m1) = x + 2
r2: (y + 3)·0 = x + 2
Resultado, la ecuación implícita es:
r2: 0 = x + 2
Resultado, la ecuación explícita es:
r2: x = -2 (paralela el eje Y)
• Los invito a probar con la pendiente inversa (m2).
La gráfica es:
Gráfica de rectas perpendiculares
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo resolver y graficar sistemas de ecuaciones lineales