Problema n° 17 de funciones de varias variables
Enunciado del ejercicio n° 17
Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente y la ecuación vectorial de la recta normal a las siguientes superficies en los puntos indicados:
Desarrollo
Fórmulas:
Plano: Z·X'(t) = X(t)·X'(t)
Recta: Z = X(t) + μ·X'(t)
Solución
a)
z = e3·x·sen 5·y - z, en el punto (0, π/6, ½)
La función es:
f(x, y, z) = e3·x·sen 5·y -z
P ∈ f
El gradiente es:
∇f(x, y, z) = (3·e3·x·sen 5·y, 5·e3·x·cos 5·y, -1)
El valor del gradiente en el punto (vector normal a la superficie) es:
∇f(0, π/6, ½) = (3/2, 5·√3/2, -1)
La ecuación vectorial de la recta normal es:
X = (0, π/6, ½) + μ·∇f(0, π/6, ½)
(x, y, z) = (0, π/6, ½) + μ·(3/2, 5·√3/2, -1)
La ecuación del plano tangente es:
X·∇f(0, π/6, ½) = (0, π/6, ½)·∇f(0, π/6, ½)
(x, y, z)·(3/2, 5·√3/2, -1) = (0, π/6, ½)·(3/2, 5·√3/2, -1)
3·x/2 - 5·√3·y/2 - z = -5·√3·π/12 - ½
3·x - 5·√3·y - 2·z = -5·√3·π/6 - 1
b)
y = ex·cos z, en el punto (1, e, 0)
La función es:
f(x, y, z) = ex·cos z - y
P ∈ f
El gradiente es:
∇f(x, y, z) = (ex·cos z, -1, ex-sen z)
El valor del gradiente en el punto (vector normal a la superficie) es:
∇f(1, e, 0) = (e¹·cos 0, -1, e¹ - sen 0) ⇒ ∇f(1, e, 0) = (e·1, -1, -e·0) ⇒ ∇f(1, e, 0) = (e, -1, 0)
La ecuación vectorial de la recta normal es:
X = (1, e, 0) + μ·∇f(1, e, 0)
(x, y, z) = (1, e, 0) + μ·(e, -1, 0)
La ecuación del plano tangente es:
X·∇f(1, e, 0) = (1, e, 0)·∇f(1, e, 0)
(x, y, z)·(e, -1, 0) = (1, e, 0)·(e, -1, 0)
e·x - y = e - e
e·x - y = 0
c)
x² + ey = z, en el punto (1, 0, 2)
La función es:
f(x, y, z) = x² + ey = z
P ∈ f
El gradiente es:
∇f(x, y, z) = (2·x, ey, -1)
El valor del gradiente en el punto (vector normal a la superficie) es:
∇f(1, 0, 2) = (2·1, e°, -1) ⇒ ∇f(1, 0, 2) = (2, 1, -1)
La ecuación vectorial de la recta normal es:
X = (1, 0, 2) + μ·∇f(1, 0, 2)
(x, y, z) = (1, 0, 2) + μ·(2, 1, -1)
La ecuación del plano tangente es:
X·∇f(1, 0, 2) = (1, 0, 2)·∇f(1, 0, 2)
(x, y, z)·(2, 1, -1) = (1, 0, 2)·(2, 1, -1)
2·x + y - z = 2 - 2
2·x + y - z = 0
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo hallar la recta tangente a una curva