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Guía de ejercicios de diferenciación. TP04

Funciones de varias variables: Solución del ejercicio n° 10 de recta tangente y plano normal. Ecuación cartesiana del plano normal. Problema resuelto. Ejemplo, cómo hallar la ecuación cartesiana del plano normal a la curva

Problema n° 10 de funciones de varias variables.

Problema n° 10) Escribir la ecuación cartesiana del plano normal a la curva:

X(t) = [(t + 1)², -t², 3 - t]

en los puntos de intersección de X(t) con el plano x + y - z = 1.

Debe verificar:

x = (t + 1)²
y = -t²
z = 3 - t

→ (t + 1)² - t² - (3 - t) = 1
t² +2·t + 1 - t² - 3 + t = 1

3·t - 3 = 0
3·t = 3
t = 1

Luego:

X(1) = [(1 + 1)², -1², 3 - 1]
X(1) = (4, -1, 2)

X(t) = [(t + 1)², -t², 3 - t]
X´(t) = [2·(t + 1), -2·t, -1]

X´(1) = [2·(1 + 1), -2·1, -1]
X´(1) = (4, -2, -1)

La ecuación del plano es:

X·X´(1) = X(1)·X´(1)
(x,y,z)·(4, -2, -1) = (4, -1, 2)·(4, -2, -1)
4·x - 2·y - z = 16 + 2 - 2

4·x - 2·y - z = 16

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