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Guía de ejercicios de diferenciación. TP04

Funciones de varias variables: Solución del ejercicio n° 11 de recta tangente y plano normal. Ecuación cartesiana del plano normal. Problema resuelto.

Problema n° 11 de funciones de varias variables.

Problema n° 11) a) Mostrar que las curvas

(t, 2.t², -1/t)

(1 - θ, 2.cos θ, sen θ - 1)

se cortan en el punto p = (1, 2, -1)

b) Calcular el ángulo (≤ π/2) formado por las tangentes a dichas curvas en P.

a) Debe verificar:

x = 1
x = t
t = 1

y = 2
y = 2.t²
y = 2

z = -1
z = -1/t
z = -1

Luego:

x = 1 - θ
1 = 1 - θ
θ = 0

y = 2.cos θ
2 = 2.cos θ
1 = cos θ

z = sen θ - 1
-1 = sen θ - 1
0 = sen θ

θ = 0

Verifica para:

t = 1 y θ = 0

b) Se trata del ángulo formado por los vectores normales a las curvas:

C1(t) = (t, 2.t², -1/t)
C1´(t) = (1, 4.t, 1/t²)
C1´(1) = (1, 4, 1)

C2(θ) = (1 - θ, 2.cos θ, sen θ - 1)
C2(θ) = (-1, -2.sen θ, cos θ)
C2(0) = (-1, 0, 1)

El ángulo entre dos vectores es:

cos φ = 0
φ = π/2

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