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Guía de ejercicios de diferenciación. TP04

Funciones de varias variables: Solución del ejercicio n° 17 de recta tangente y plano normal. Ecuación cartesiana del plano normal. Ecuación vectorial. Problemas resueltos.

Problema n° 17 de funciones de varias variables.

Problema n° 17) Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente y la ecuación vectorial de la recta normal a las siguientes superficies en los puntos indicados:

a) z = e³.x.sen 5.y - z, en el punto (0, π/6, 1/2)

La función es:

f(x, y, z) = e³.x.sen 5.y - z

P ∈ f

El gradiente es:

∇f(x, y, z) = (3.e³.x.sen 5.y, 5.e³.x.cos 5.y, -1)

El valor del gradiente en el punto (vector normal a la superficie) es:

∇f(0, π/6, 1/2) = (3/2, 5.√3/2, -1)

La ecuación vectorial de la recta normal es:

X = (0, π/6, 1/2) + μ.∇f(0, π/6, 1/2)
(x, y, z) = (0, π/6, 1/2) + μ.(3/2, 5.√3/2, -1)

La ecuación del plano tangente es:

X.∇f(0, π/6, 1/2) = (0, π/6, 1/2).∇f(0, π/6, 1/2)
(x, y, z).(3/2, 5.√3/2, -1) = (0, π/6, 1/2).(3/2, 5.√3/2, -1)

3.x/2 - 5.√3.y/2 - z = - 5.√3.π/12 - 1/2
3.x - 5.√3.y - 2.z = - 5.√3.π/6 - 1

b) y = ex.cos z, en el punto (1, e, 0)

La función es:

f(x, y, z) = ex.cos z - y

P ∈ f

El gradiente es:

∇f(x, y, z) = (ex.cos z, -1, ex-.sen z)

El valor del gradiente en el punto (vector normal a la superficie) es:

∇f(1, e, 0) = (e¹.cos 0, -1, e¹-.sen 0) ⇒ ∇f(1, e, 0) = (e.1, -1, -e.0) ⇒ ∇f(1, e, 0) = (e, -1, 0)

La ecuación vectorial de la recta normal es:

X = (1, e, 0) + μ.∇f(1, e, 0)
(x, y, z) = (1, e, 0) + μ.(e, -1, 0)

La ecuación del plano tangente es:

X.∇f(1, e, 0) = (1, e, 0).∇f(1, e, 0)
(x, y, z).(e, -1, 0) = (1, e, 0).(e, -1, 0)

e.x - y = e - e
e.x - y = 0

c) x² + ey = z, en el punto (1, 0, 2)

La función es:

f(x, y, z) = x² + ey = z

P ∈ f

El gradiente es:

∇f(x, y, z) = (2.x, ey, -1)

El valor del gradiente en el punto (vector normal a la superficie) es:

∇f(1, 0, 2) = (2.1, e°, -1) ⇒ ∇f(1, 0, 2) = (2, 1 , -1)

La ecuación vectorial de la recta normal es:

X = (1, 0, 2) + μ.∇f(1, 0, 2)
(x, y, z) = (1, 0, 2) + μ.(2, 1, -1)

La ecuación del plano tangente es:

X.∇f(1, 0, 2) = (1, 0, 2).∇f(1, 0, 2)
(x, y, z).(2, 1, -1) = (1, 0, 2).(2, 1, -1)

2.x + y - z = 2 - 2
2.x + y - z = 0

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