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Guía de ejercicios de diferenciación. TP06

Funciones de varias variables: Solución del ejercicio n° 20 de recta tangente y plano normal. Intersección de curva y plano. Derivada direccional. Curvas diferenciables. Problemas resueltos.

Problema n° 20 de funciones de varias variables.

Problema n° 20) Escribir la ecuación de la recta tangente a la curva (1,t,t²) en la intersección P de la curva con la esfera de ℜ³, de centro en el origen y radio 1. Mostrar que la curva se encuentra sobre el plano tangente a la esfera en P.

Debe verificar:

x = 1

y = t

z = t²

1² + t² + t4 = 1
1 + t².(1 + t²) = 1
t².(1 + t²) = 0
t = 0

El punto será:

X(0) = (1,0,0)
P = (1,0,0)

El gradiente es:

∇f(x,y,z) = (2.x,2.y,2.z)

El valor del gradiente en el punto:
∇f(1,0,0) = (2.1,2.0,2.0) ⇒ ∇f(1,0,0) = (2,0,0)

La ecuación del plano normal es:

X.∇f(1,0,0) = (1,0,0).∇f(1,0,0)
(x,y,z).(2,0,0) = (1,0,0).(2,0,0)

2.x = 2
x = 1

La ecuación de la recta es:

X´(t) = (0,1,2.t)
X´(0) = (0,1,0)

X = P + μ .X´(0)
(x,y,z) = (1,0,0) + μ .(0,1,0)

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