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Guía de ejercicios de diferenciación. TP06

Funciones de varias variables: Solución del ejercicio n° 20 de recta tangente y plano normal. Intersección de curva y plano. Derivada direccional. Problema resuelto. Ejemplo, cómo hallar la recta tangente a una curva

Problema n° 20 de funciones de varias variables.

Problema n° 20) Escribir la ecuación de la recta tangente a la curva (1,t,t²) en la intersección P de la curva con la esfera de ℜ³, de centro en el origen y radio 1. Mostrar que la curva se encuentra sobre el plano tangente a la esfera en P.

Debe verificar:

x = 1

y = t

z = t²

1² + t² + t4 = 1
1 + t²·(1 + t²) = 1
t²·(1 + t²) = 0
t = 0

El punto será:

X(0) = (1,0,0)
P = (1,0,0)

El gradiente es:

∇f(x,y,z) = (2·x,2·y,2·z)

El valor del gradiente en el punto:
∇f(1,0,0) = (2·1,2·0,2·0) ⇒ ∇f(1,0,0) = (2,0,0)

La ecuación del plano normal es:

X·∇f(1,0,0) = (1,0,0)·∇f(1,0,0)
(x,y,z)·(2,0,0) = (1,0,0)·(2,0,0)

2·x = 2
x = 1

La ecuación de la recta es:

X´(t) = (0,1,2·t)
X´(0) = (0,1,0)

X = P + μ·X´(0)
(x,y,z) = (1,0,0) + μ·(0,1,0)

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