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Guía de ejercicios de diferenciación. TP06

Funciones de varias variables: Solución del ejercicio n° 21 de recta tangente y plano normal. Intersección de curva y plano. Derivada direccional. Problema resuelto. Ejemplo, cómo hallar la ecuación cartesiana del plano normal a la curva

Problema n° 21 de funciones de varias variables.

Problema n° 21) Escribir las ecuaciones cartesianas de los planos normales a la curva (1,t,t²) en las intersecciones de la curva con el cilindro x² + y² = 5.

Debe verificar:

x = 1

y = t

z = t²

1² + t² = 5
t² = 4
t = √4
t = ±2

Los valores de los puntos son:

C(2) = (1,2,4)

C(-2) = (1,-2,4)

Los valores de la derivada son:

C(t) = (1,t,t²)
C´(t) = (0,1,2·t)

C´(2) = (0,1,4)

C´(-2) = (0,1,-4)

Las ecuaciones buscadas son:

X·C´(2) = C(2)·C´(2)
(x,y,z)·(0,1,4) = (1,2,4)·(0,1,4)
y + 4·z = 2 + 16
y + 4·z = 18

X·C´(-2) = C(-2)·C´(-2)
(x,y,z)·(0,1,-4) = (1,-2,4)·(0,1,-4)
y - 4·z = 2 - 16
y - 4·z = -18

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