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Guía de ejercicios de diferenciación. TP06

Funciones de varias variables: Solución del ejercicio n° 23 de recta tangente y plano normal. Intersección de curva y plano. Derivada direccional. Problema resuelto. Ejemplo, cómo hallar las derivadas parciales

Problema n° 23 de funciones de varias variables.

Problema n° 23) La derivada direccional de una cierta f(x,y) según la dirección del vector X´(t), tangente a la curva:

(et - 1,1 - t + t²)

en el punto P = (1,1), vale √2. La derivada direccional de la misma función según la dirección que se obtiene girando π/2 el vector X´(t) en sentido antihorario, en el mismo punto P, vale 3·√2. Calcular las derivadas parciales de la f(x,y) en P.

La curva y su vector tangente son:

X(t) = (et - 1,1 - t + t²)
X´(t) = (et - 1,- 1 + 2·t)

Debe verificar:

x = et - 1 = 1
t - 1 = 0
t = 1

y = 1 - t + t² = 1
- t + t² = 0

t = 1

Debe cumplir:

Cálculo de las derivadas parciales

El vector girado es:

Cálculo del vector normal

Analizando ambos casos vemos que:

Cálculo del gradiente

Sumando (1) y (2) miembro a miembro:

∂f(1,1)/∂x + ∂f(1,1)/∂y - ∂f(1,1)/∂x + ∂f(1,1)/∂y = 2 + 6
2·∂f(1,1)/∂y = 8
∂f(1,1)/∂y = 4

Reemplazando en (1):

∂f(1,1)/∂x + 4 = 2
∂f(1,1)/∂x = -2

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