Guía n° 3 de ejercicios de diferenciación

Resolver los siguientes ejercicios

Fórmulas aplicables:

D_uf(X) = ∇f(X)·u

Para:

u = (u₁, u₂)

u₁ = cos x·u

u₂ = cos y·u

o

Para:

Máxima velocidad de crecimiento de una función f(X) en un punto dado X₀ es:

||∇f(X₀)||

Dirección de máxima velocidad de crecimiento de una función f(X) en un punto dado X₀ es:

∇f(X₀) ⇔ (si: ∇f(X₀) ≠ 0)

Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones, en los puntos indicados y según las direcciones indicadas:

Problema n° 12

f(x, y) = log y/log x

• Ver resolución del problema n° 12

Problema n° 13

f(x, y) = (tg x)^√y

Problema n° 14

f(x, y) = log (1 + √x² + y²)

Problema n° 15

f(x, y) = (x² - y²)/x·y

Problema n° 16

f(x, y) = e^{x + y}/(x - y)

Problema n° 17

Dada la función z = x² - x·y + y², hallar, en el punto (1,1):

a) La máxima derivada direccional.

b) La dirección de mayor crecimiento de la función.

c) La dirección de mayor decrecimiento de la función.

d) Las direcciones según las cuales la derivada direccional es nula.

Problema n° 18

Sea f(x, y, z) = x·y + y·z + z·x, hallar, en el punto (1, 2, -1):

a) La dirección en la cual la función crece más rápidamente.

b) La derivada direccional en esa dirección.

c) La mínima derivada direccional.

Problema n° 19

Sea f(x, y, z) = x²·y - e^y·z una función que representa la distribución de la temperatura. Calcular en el punto P = (1, 1, 1):

a) La dirección en la cual la temperatura aumenta más rápidamente.

b) La máxima velocidad de crecimiento de la temperatura.

Problema n° 20

Calcular las direcciones según las cuales la función f(x, y) = x² + y³ tiene derivada direccional nula en el punto p = (√2, √2).

Problema n° 21

Demostrar el teorema 1.7.II:

D_u(f + g) = D_uf + D_ug

D_u(c·f) = c·D_uf

Problema n° 22

Demostrar el teorema 1.7.III:

D_-uf = -D_uf

• Fuente:

Ejercicios extraídos del libro "Lecciones de análisis II" del Dr. Alfredo F. Novelli para Análisis Matemático II de UNLu.

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina