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Guía de ejercicios de diferenciación. TP06

Contenido: Recta tangente y plano normal (tercera parte). Intersección de curva y plano. Derivada direccional. Curvas diferenciables.

Guía de ejercicios de diferenciación.

Resolver los siguientes ejercicios:

Fórmulas aplicables:

Plano: Z.X´(t) = X(t).X´(t)

Recta: Z = X(t) + μ.X´(t)

Problema n° 19) Escribir la ecuación cartesiana del plano normal a la curva:

X(t) = (t,t²,1 + t)

en el punto de intersección de la curva con el plano x + y + z = 0.

Problema n° 20) Escribir la ecuación de la recta tangente a la curva (1,t,t²) en la intersección P de la curva con la esfera de ℜ³, de centro en el origen y radio 1. Mostrar que la curva se encuentra sobre el plano tangente a la esfera en P.

Problema n° 21) Escribir las ecuaciones cartesianas de los planos normales a la curva (1,t,t²) en las intersecciones de la curva con el cilindro x² + y² = 5.

Problema n° 22) Mostrar que las rectas tangentes a la astroide (a.cos³ t, a.sen³ t), a > 0, cortan a los ejes coordenados en dos puntos cuya distancia es constante y vale a.

Problema n° 23) La derivada direccional de una cierta f(x,y) según la dirección del vector X´(t), tangente a la curva:

(et - 1,1 - t + t²)

en el punto P = (1,1), vale √2. La derivada direccional de la misma función según la dirección que se obtiene girando π/2 el vector X´(t) en sentido antihorario, en el mismo punto P, vale 3.√2. Calcular las derivadas parciales de la f(x,y) en P.