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Integración por sustitución. AP01

Contenido: Integración por partes, integración del cociente de dos polinomios, integración por sustitución trigonométrica. ¿Qué es la C en la integral? Definición integración por sustitución. Métodos de integración por partes

Integración por sustitución

F(x) = f(x)·g(x)·dx ⇒ F(x) = u·du ⇔ u = g(x) ⇔ du = f(x)·dx

Integración por partes

La integral de un producto de un factor finito por un factor diferencial es igual al factor finito por una integral del factor diferencial, menos la integral de la integral hallada por la diferencial del factor finito.

F(x) = u·dv ⇒ F(x) = u·v - v·du

F(x) = f(x)·g5(x)·dx ⇔ F(x) = f(x)·g(x) - g(x)·f´(x)·dx

u = f(x) ⇔ du = f´(x)·dx

dv = g5(x)·dx ⇔ v = g(x)

Método abreviado

f(x)
f¹(x)
f²(x)
f³(x)
f4(x) = 0

g5(x)
g4(x)
g³(x)
g²(x)
g¹(x)

F(x) = f(x)·g4(x) - f¹(x)·g³(x) + f²(x)·g²(x) -³(x)·g¹(x)

Integración del cociente de dos polinomios

F(x) = f(x)/g(x)·dx

1) si f(x) y g(x) son polinomios y el grado de f(x) es igual o mayor que el de g(x), se dividen:

f(x) = g(x)·c(x) + R

F(x) = c(x)·dx + R/g(x)·dx

2) si f(x) y g(x) son polinomios y el grado de f(x) es menor que el de g(x), se factorean:

a)

f(x) = (x + a)

g(x) = (x + b)·(x + c)

F(x) = (x + a)/(x + b)·(x + c)·dx ⇒ F(x) = [(a - b)/(c - b)]·ln (x + b) + [(a - c)/(b - c)]·ln (x + c)

b)

f(x) = (x + a)

g(x) = (x + b)²

F(x) = (x + a)/(x + b)²·dx

u = x + b ⇒ x = u - b

du = dx

x + a = u - b + a

F(x) = du/u + (a - b)·du/u² = ln u - (a - b)/u

Integración por sustitución trigonométrica

a)

x = b·sen t ⇒ t = arcsen (x/b)

dx = b·cos t·dt

F(x) =

a·dx

= a·

b·cos t·dt

= a·b·

cos t·dt

=

a·b

cos t·dt

=

b² - x²

b² - (b·sen t)²

b² - b²·sen t²

b

1 - sen t²

 

= a·

cos t·dt

= a·

cos t·dt

= a·dt = a·t = a.arcsen (x/b)

cos t²

cos t

b)

x = √b·t ⇒ t = x/√b

dx = √b·dt

F(x) =

a·dx

= a·

b·dt

= a·√b·

dt

=

b + x²

b + (√b·t

b + b·t²

 

=

a·√b

dt

=

a·√b.arctg t

=

a·√b.arctg (x/√b)

b

1 + t²

b

b

INTEGRALES TRIGONOMETRICAS

F(x) = sen n x.cos m x·dx

siendo m ó n impar, por ej.:

F(x) = sen² x ·cos³ x ·dx ⇒ F(x) = sen² x ·cos² x·cos x ·dx ⇒ F(x) = (1 - sen² x)·(sen² x)·(cos x)·dx ⇒

F(x) = (sen² x - sen4 x)·cos x ·dx F(x) = sen² x·cos x ·dx - sen4 x·cos x ·dx

u = sen x

du = cos x ·dx

F(x) = u²·du - u4·du ⇒ F(x) = u³/3 - u5/5 ⇒ F(x) = (sen³ x)/3 - (sen5 x)/5

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