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Integración de una función escalar

Contenido: Trabajo o circulación de una función sobre una curva. Longitud de una curva.

INTEGRACION DE UNA FUNCION ESCALAR

Definición: Dada C ⊂ ℜn una curva lisa de ecuación vectorial x = G (t9, t ∈ [a, b] (g inyectiva) y dada F: A ⊂ ℜn → R, continua, C ⊂ A, se define la integral de F sobre C como:

C F dl = Integral entre a y b F(g (t)) | g´ (t)dt|

Segundo Parcial:

Longitud de una curva: L = Integral entre a y b| G´ (t)| dt

Si C = C1∪C2, donde C1∩C2 tiene a lo sumo un punto: c dl = c1 dl + c2 dl

Ejemplo: y = x² G (t) = (t, t²),t ∈ [0, 1] G´ (t) = (1, 2t) |G´ (t)| = √(1 + 4t)

L = = Integral entre 0 y 1 |G´ (t)|dt = Integral entre 0 y 1(1 + 4t)dt = = Integral entre 0 y 1(1 + (2t)²)dt =v = 2t ⇒ dv = 2dt ⇒ Integral entre 0 y 2(1 + v²) dv

L = 1/4 [sh (2 argsh (2)) /2 + argsh (2) ] = 1,42

Integral de F sobre C: c F dl = Integral entre a y bF (G (t)).|G´ (t)| dt

Trabajo o circulación de F a lo largo de C : c F dl = Integral entre a y b F (G (t)). G´ (t) dt

Ejemplo: Calcular el trabajo de F entre (0, 0) y (1, 1) a lo largo de la curva y = x² F (x, y) = (x + y, y)

Parametrización de la curva: G (t) = (t, t²), t ∈ [0, 1]

T = Integral entre 0 y 1 F (G (t)).G´ (t) dt = Integral entre 0 y 1 (t + t², t²) (1, 2t) dt = Integral entre 0 y 1 (t + t² + 2t³) dt = t²/2 + t²/3 + t4/2|0¹ = 4/3

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