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Integrales dobles. AP07

Contenido: Teorema de Fubini. Cálculo de áreas. Centro de masas. ¿Para qué sirven las integrales dobles? Integrales dobles aplicaciones.

INTEGRALES DOBLES

F: A ⊂ ℜ² → R S ⊂ A

∫∫d F (x, y) dx dy

Interpretación geométrica en R3: Volumen debajo del grafico de F

Integrales dobles

Teorema de Fubini:

∫∫5 F (x, y) dx dy = Integrales dobles [ Integrales dobles F (x, y) dy ] dx = Integrales dobles [ Integrales dobles F (x, y) dx ] dy (Caso de limites bien definidos)

Integrales dobles

Integrales doblesIntegrales dobles dy dx = Integral entre 0 y 1Integrales dobles dx dy

Propiedades:

1) Dadas F y G continuas en A ⊂ ℜ², y dada α y β∈ R:

∫∫A (α F + β G) (x, y) dx dy = α ∫∫A F (x, y) dx dy + β ∫∫AG (x, y) dx dy

2) Dadas F y G continuas en A ⊂ ℜ² tales que F (x, y)≥ G (x, y),∀ (x, y) ∈ A:

∫∫A F (x, y) dx dy ≥ ∫∫A G (x, y) dx dy

Calculo de áreas: Area (A) = ∫∫A dx dy

Ejemplo: Calcular el área de A ⊂ ℜ², limitada por las curvas y = e x, y = e -x, y = e²

Integrales dobles

Area = Integrales dobles (Integrales dobles dy) dx + Integral entre 0 y 2 (Integrales dobles dy) dx Obs: Donde se lee e2 es e², e-x es e-x, y ex es ex.

Calculo de masas: Masa = ∫∫A δ (x, y) dx dy donde δ (x, y) es la densidad superficial

Centro de masa:

X cm = (∫∫A x δ (x, y) dx dy)/M Y cm = (∫∫A y δ (x, y) dx dy)/M

Teorema: ∫∫A F (x, y) dx dy = ∫∫A+F (G (u, v)).|det D G| du dv obs: det DG ≠ 0 para formar un área.

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