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Guía de ejercicios de integrales dobles (primera parte). TP03

Integrales: Solución del ejercicio n° 12 de baricentro de un dominio plano. Cálculo de las coordenadas del baricentro por integración. Problemas resueltos.

Problema n° 12 de integrales.

Problema n° 12) {(x,y): (x - 2)²/4 + y² ≤ 1, x ≥ 2}

Si: Baricentro de un dominio plano

Cambiando de sistema de coordenadas:

Con el dominio: {(x,y): (x/2)² + y² ≤ 1, x ≥ 0}

y = 0 es eje de simetría, entonces YG = 0

Cambiando a coordenadas cilíndricas:

x = 2.u ⇒ u = x/2

y = v

|J| = 2 ⇒ dx.dy = 2.du.dv

Con el dominio: {(u,v): u² + v² ≤ 1, u ≥ 0}

Si: XG = I/A

Luego:

I = ∫∫ D x.dx.dy = ∫∫ 2.u.2.du.dv = 4.∫∫ u.du.dv

Por simetría con respecto a y = 0:

I = 8.∫∫ D" u.du.dv

con

{(u,v): u² + v² ≤ 1, u ≥ 0, v ≥ 0}

Cambiando a sistema de coordenadas polares:

u = r.cos θ

v = r.sen θ

|J| = r

du.dv = r.dθ.dr

Para:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ π/2

I = 8.∫∫ D" r.cos θ.r.dθ.dr = 8.∫∫ D" r².cos θ.dθ.dr = Baricentro de un dominio plano

Luego:

Baricentro de un dominio plano

= (8/3).[sen (π/2) - sen 0] = (8/3).1 = 8/3

Para calcular A debemos tener en cuenta el dominio original y en forma práctica se trata de media área de elipse:

A = ∫∫ D dx.dy = a.b.π/2 = 1.2.π/2 = π

Finalmente:

XG = I/A = (8/3)/π = 8/(3.π)

El baricentro es:

G = [8/(3.π), 0]

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