Problema n° 1-a de integrales - TP06
Enunciado del ejercicio n° 1-a
Calcular el flujo saliente del campo:
(x, y, z) a través de la esfera x² + y² + z² = 1.
Desarrollo
Fórmulas:
∬∂T F·dS = ∭T div F·dT
Vol T = ∬∂T x·E1·dS
Vol T = ∬∂T y·E1·dS
Vol T = ∬∂T z·E1·dS
Solución
Hallamos la divergencia del campo:
F = (x, y, z) ⇒ ∇F = (1 + 1 + 1)
∇F = 3
Planteamos la integral para la página exterior del dominio:
∬∂T F·dS = ∭T div F·dT
∬∂T F·dS = ∭T 3·dx·dy·dz
∬∂T F·dS = 3·∭T dx·dy·dz
Cambiamos a sistema de coordenadas esféricas:
| x = r·(cos θ)·(sen φ) y = r·(sen θ)·(sen φ) z = r·cos φ | ⟶ |J| = r²·sen φ ⟶ | 0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2·π 0 ≤ φ ≤ π |
Resolvemos:
3·∭T·dx·dy·dz = 3·∭T' r²·dθ·dφ·dr =
| = 3·∫ | 2·π | dθ∫ | 1 | r²·dr∫ | π | sen φ·dφ = |
| 0 | 0 | 0 |
| = 3·(2·π)·(⅓·r³) | 1 | ·(cos φ) | 0 | = |
| 0 | π |
= 6·π·(⅓·1³ - ⅓·0³)·(cos 0 - cos π) =
= 6·π·⅓·[1 - (-1)] = 2·π·(1 + 1)
Resultado, el flujo saliente del campo es:
Flujo = 4·π
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de una esfera