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Guía de ejercicios de divergencia. TP06

Integrales: Solución del ejercicio n° 1-a de aplicaciones del teorema de la divergencia al cálculo de una integral triple o de un volumen. Problemas resueltos.

Problema n° 1-a de integrales.

Problema n° 1) Calcular:

a) Calcular el flujo saliente del campo (x, y, z) a través de la esfera x² + y² + z² = 1.

Hallamos la divergencia del campo:

F = (x, y, z) ⇒ ∇F = (1 + 1 + 1) ⇒ ∇F = 3

Planteamos la integral para la página exterior del dominio:

∫∫ ∂T F.dS = ∫∫∫ T div F.dT = ∫∫∫ T 3.dx.dy.dz = 3.∫∫∫ T 3.dx.dy.dz

Cambiamos a sistema de coordenadas esféricas:

x = r.cos θ.sen φ

y = r.sen θ.sen φ

z = r.cos φ

→ |J| = r².sen φ →

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2.π

0 ≤ φ ≤ π

Resolvemos:

3.∫∫∫ T dx.dy.dz = 3.∫∫∫ r².dθ.dφ.dr =

divergencia

= 6.π.(1/3).(1 - (-1)) = 2.π.(1 + 1)

Flujo = 4.π

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