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Ejercicios resueltos de aplicaciones del teorema de la divergencia al cálculo de una integral triple o de un volumen. TP-06

Integrales: Solución del ejercicio n° 1-b de aplicaciones del teorema de la divergencia al cálculo de una integral triple o de un volumen. TP-06

Problema n° 1-b de integrales. TP-06

Problema n° 1) Calcular:

b) Calcular el flujo entrante del campo (y, x, z²) a través de la hemisferio x² + y² + z² = 1, z ≥ 0.

Hallamos la divergencia del campo:

F = (x, y, z²) ⇒ ∇F = (0 + 0 + 2.z) ⇒ ∇F = 2.z

Planteamos la integral para la página exterior del dominio:

-∫∫ ∂T F.dS = -∫∫∫ T div F.dT = -∫∫∫ T 2.z.dx.dy.dz = -2.∫∫∫ T z.dx.dy.dz

Cambiamos a sistema de coordenadas esféricas:

x = r.cos θ.sen φ

y = r.sen θ.sen φ

z = r.cos φ

→ |J| = r².sen φ →

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2.π

0 ≤ φ ≤ π/2

Resolvemos:

= -2.∫∫∫ T z.dx.dy.dz = -2.∫∫∫ r.cos φ.r².sen φ.dθ.dφ.dr = -2.∫∫∫ r³.cos φ.sen φ.dθ.dφ.dr

divergencia

= -4.π.(1/4).(1/2) = -π/2

Flujo = -π/2

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