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Guía de ejercicios de divergencia. TP06

Integrales: Solución del ejercicio n° 2 de aplicaciones del teorema de la divergencia al cálculo de una integral triple o de un volumen. Problemas resueltos.

Problema n° 2 de integrales.

Problema n° 2) Calcular:

∫∫ ∂T F.dS

donde F = X = (x, y, z) y T es el sólido comprendido entre dos superficies esféricas de centro en el origen y radios 1 y 2.

Hallamos la divergencia del campo:

F = (x, y, z) ⇒ ∇ F = (1 + 1 + 1) ⇒ ∇F = 3

Planteamos la integral donde será flujo saliente para la S1 y flujo entrante para la S2:

Flujo = ∫∫ ∂T F.dS = 3.∫∫∫ T1 dx.dy.dz - ∫∫∫ T2 dx.dy.dz

S1: x² + y² + z² = 2

S2: x² + y² + z² = 1

Cambiamos a sistema de coordenadas esféricas:

x = r.cos θ.sen φ

y = r.sen θ.sen φ

z = r.cos φ

→ |J| = r².sen φ →

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2.π

0 ≤ φ ≤ π

Resolvemos:

Flujo = 3.∫∫∫ T1 dx.dy.dz - 3.∫∫∫ T2 dx.dy.dz

Flujo = 3.∫∫∫ T´1 r².sen φ.dθ.dφ.dr -3.∫∫∫ T´2 r².sen φ.dθ.dφ.dr

divergencia

Flujo = 16.2.π - 2.2.π = 32.π - 4.π

Flujo = 28.π

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