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Guía de ejercicios de momento de inercia. TP08

Integrales: Solución del ejercicio n° 1 de integrales triples. Cálculo del momento de inercia de sólidos homogéneos. Problema resuelto.

Problema n° 1 de integrales.

Problema n° 1) {(x,y,z): x² + y² + z² ≤ R, z ≥ 0}

Se trata de media circunferencia con centro en el origen, por lo tanto el volumen será:

Momento de Inercia

Calculamos la integral triple con respecto al eje z:

∫∫∫D(x² + y²)dx.dy.dz

Efectuamos un cambio de coordenadas:

x = r.cos θ.sen φ

y = r.sen θ.sen φ

z = r.cos φ

→ |J| = r².sen φ

∫∫∫D(x² + y²)dx.dy.dz

Momento de Inercia

∫∫∫ r4.sen³ φ.dφ.dθ.dr

Los límites de integración son:

0 ≤ r ≤ √R

0 ≤ θ ≤ 2.π

0 ≤ φ ≤ π/2

∫∫∫ r4.sen³ φ.dφ.dθ.dr = Momento de Inercia

Resolviendo y como θ no depende de las otras variables:

Momento de Inercia

Momento de Inercia

Luego:

Iz = (M/V).∫∫∫D(x² + y²)dx.dy.dz

Momento de Inercia

Iz = 2.M.R/5

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