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Ejercicios resueltos de cálculo del momento de inercia de sólidos homogéneos. TP-08

Integrales: Solución del ejercicio n° 6 de integrales triples. Cálculo del momento de inercia de sólidos homogéneos. TP-08

Problema n° 6 de integrales. TP-08

Problema n° 6) {(x,y,z): x² + y² + z² ≤ 2, x² + y² - z² ≤ 0, z ≥ 0}

Calculamos el volumen:

V = ∫∫∫ Ddx.dy.dz

Cambiamos a coordenadas polares:

V = ∫∫∫ Ddx.dy.dz = V = ∫∫∫ r².sen φ.dθ.dφ.dr

0 ≤ θ ≤ 2.π

0 ≤ φ ≤ π/4

0 ≤ r ≤ √2

Momento de Inercia

Como las variables no dependen entre si:

Momento de Inercia

Luego mediante un cambio de coordenadas:

x = r.cos θ.sen φ

y = r.sen θ.sen φ

z = r.cos φ

→ |J| = r².sen φ

∫∫∫D(x² + y²)dx.dy.dz = ∫∫∫[(r.cos θ.sen φ)² + (r.sen θ.sen φ)²].r².sen φ.dθ.dφ.dr

∫∫∫(r².cos² θ.sen² φ) + (r².sen² θ.sen² φ).r².sen φ.dθ.dφ.dr = ∫∫∫ r².sen² φ.(cos² θ + sen² θ).r².sen φ.dθ.dφ.dr

∫∫∫ r4.sen³ φ.dθ.dφ.dr =

Momento de Inercia

Momento de Inercia

Momento de Inercia

Momento de Inercia

Finalmente:

Iz = (M/V).∫∫∫D(x² + y²)dx.dy.dz

Momento de Inercia

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