Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso. Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.

 

Guía de ejercicios de momento de inercia. TP08

Integrales: Solución del ejercicio n° 6 de integrales triples. Cálculo del momento de inercia de sólidos homogéneos. Problema resuelto.

Problema n° 6 de integrales.

Problema n° 6) {(x,y,z): x² + y² + z² ≤ 2, x² + y² - z² ≤ 0, z ≥ 0}

Calculamos el volumen:

V = ∫∫∫ Ddx.dy.dz

Cambiamos a coordenadas polares:

V = ∫∫∫ Ddx.dy.dz = V = ∫∫∫ r².sen φ.dθ.dφ.dr

0 ≤ θ ≤ 2.π

0 ≤ φ ≤ π/4

0 ≤ r ≤ √2

Momento de Inercia

Como las variables no dependen entre si:

Momento de Inercia

Luego mediante un cambio de coordenadas:

x = r.cos θ.sen φ

y = r.sen θ.sen φ

z = r.cos φ

→ |J| = r².sen φ

∫∫∫D(x² + y²)dx.dy.dz = ∫∫∫[(r.cos θ.sen φ)² + (r.sen θ.sen φ)²].r².sen φ.dθ.dφ.dr

∫∫∫(r².cos² θ.sen² φ) + (r².sen² θ.sen² φ).r².sen φ.dθ.dφ.dr = ∫∫∫ r².sen² φ.(cos² θ + sen² θ).r².sen φ.dθ.dφ.dr

∫∫∫ r4.sen³ φ.dθ.dφ.dr =

Momento de Inercia

Momento de Inercia

Momento de Inercia

Momento de Inercia

Finalmente:

Iz = (M/V).∫∫∫D(x² + y²)dx.dy.dz

Momento de Inercia

Si has utilizado el contenido de esta página, por favor, no olvides citar la fuente "Fisicanet ®".

Por favor, "copia y pega" el enlace completo a ésta página.

https://www.fisicanet.com.ar/matematica/integrales/resueltos/tp08_integrales_triples06.php

¡Gracias!

Copyright © 2000-2028 Fisicanet ® Todos los derechos reservados

https://www.fisicanet.com.ar/matematica/integrales/resueltos/tp08_integrales_triples06.php