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Guía de ejercicios de momento de inercia. TP08

Integrales: Solución del ejercicio n° 7 de integrales triples. Cálculo del momento de inercia de sólidos homogéneos. Problemas resueltos.

Problema n° 7 de integrales.

Problema n° 7) {(x,y,z): x² + y² ≤ z², (x - 1)² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 4}

Calculamos el volumen:

V = ∫∫∫ Ddx.dy.dz

Momento de Inercia

Momento de Inercia

Cambiando a coordenadas polares:

x = r.cos θ

y = r.sen θ

→ |J| = r

Momento de Inercia

Momento de Inercia

Hallamos el límite de integración correspondiente a r:

(x - 1)² + y² = 1

(r.cos θ - 1)² + (r.sen θ)² = 1

r².cos² θ - 2.r.cos θ + 1 + r².sen² θ = 1

r².(cos² θ + sen² θ) - 2.r.cos θ = 0

r² - 2.r.cos θ = 0

r.(r - 2.cos θ) = 0

0 ≤ r ≤ 2.cos θ

Para θ:

- π /2 ≤ θ ≤ π /2

Momento de Inercia

Momento de Inercia

Momento de Inercia

Momento de Inercia

Ahora calculamos la integral:

Iz = ∫∫∫D(x² + y²)dx.dy.dz

Momento de Inercia

Cambiando a coordenadas polares:

x = r.cos θ

y = r.sen θ

→ |J| = r

Momento de Inercia

Momento de Inercia

Los límites de integración son los mismos:

0 ≤ r ≤ 2.cos θ

-π/2 ≤ r ≤ π/2

Momento de Inercia

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Momento de Inercia

Momento de Inercia

Momento de Inercia

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Luego:

Momento de Inercia

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