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Guía de ejercicios de momento de inercia. TP08

Integrales: Solución del ejercicio n° 7 de integrales triples. Cálculo del momento de inercia de sólidos homogéneos. Problema resuelto.

Problema n° 7 de integrales.

Problema n° 7) {(x,y,z): x² + y² ≤ z², (x - 1)² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 4}

Calculamos el volumen:

V = ∫∫∫Ddx·dy·dz

Momento de Inercia

Momento de Inercia

Cambiando a coordenadas polares:

x = r·cos θ

y = r·sen θ

→ |J| = r

Momento de Inercia

Momento de Inercia

Hallamos el límite de integración correspondiente a r:

(x - 1)² + y² = 1

(r·cos θ - 1)² + (r·sen θ)² = 1

r²·cos² θ - 2·r·cos θ + 1 + r²·sen² θ = 1

r²·(cos² θ + sen² θ) - 2·r·cos θ = 0

r² - 2·r·cos θ = 0

r·(r - 2·cos θ) = 0

0 ≤ r ≤ 2·cos θ

Para θ:

- π/2 ≤ θ ≤ π/2

Momento de Inercia

Momento de Inercia

Momento de Inercia

Momento de Inercia

Ahora calculamos la integral:

Iz = ∫∫∫D(x² + y²)dx·dy·dz

Momento de Inercia

Cambiando a coordenadas polares:

x = r·cos θ

y = r·sen θ

→ |J| = r

Momento de Inercia

Momento de Inercia

Los límites de integración son los mismos:

0 ≤ r ≤ 2·cos θ

-π/2 ≤ r ≤ π/2

Momento de Inercia

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Momento de Inercia

Momento de Inercia

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Luego:

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