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Guía de ejercicios de integrales superficiales. TP09

Integrales: Solución del ejercicio n° 1 de integrales superficiales de campos vectoriales. Problema resuelto.

Problema n° 1 de integrales superficiales de campos vectoriales.

Problema n° 1) Calcular el flujo saliente del campo (x, y, z) a través de la esfera x² + y² + z² = 1.

Si:

F = (x, y, z)

S: x² + y² + z² = 1

Parametrizando la esfera:

x = cos θ.sen φ
y = sen θ.sen φ
z = cos φ

X(θ, φ) = (cos θ.sen φ,sen θ.sen φ,cos φ)

0 ≤ θ ≤ 2.π
0 ≤ φ ≤ π

Hallamos el vector normal:

Xθ = (-sen θ.sen φ, cos θ.sen φ, 0)

Xφ = (cos θ.cos φ, sen θ.cos φ, -sen φ)

n = Xθ ∧ Xφ =

E1

-E2

E3

-sen θ.sen φ

cos θ.sen φ

0

cos θ.cos φ

sen θ.cos φ

-sen φ

n = Xθ ∧ Xφ = [-sen φ.cos θ.sen φ, -(-sen θ.sen φ).(-sen φ),-sen θ.sen φ.sen θ.cos φ - cos θ.sen φ.cos θ.cos φ]

n = (-sen² φ.cos θ,-sen θ.sen² φ,-sen² θ.sen φ.cos φ - cos² θ.sen φ.cos φ)

n = [-sen² φ.cos θ,-sen θ.sen² φ, -sen φ.cos φ.(sen² θ + cos² θ)]

n = (-sen² φ.cos θ,-sen θ.sen² φ, -sen φ.cos φ)

n = -sen φ.(sen φ.cos θ,sen θ.sen φ, cos φ)

Para el punto:

(0,1,0) ⇒ θ = π/2 y φ ≤ π/2

El vector normal apunta hacia adentro de la esfera:

n = -1.(0,1,0)

Como se pide el flujo saliente se le cambia el sentido al vector normal:

n = sin φ .(sin φ .cos θ,sin φ .sin θ,cos φ)

Parametrizamos el campo:

F = (x, y, z) ⇒ F(X(θ, φ)) = (cos θ.sin φ,sin θ.sin φ,cos φ)

Aplicamos la integral:

∫∫S F(X).ds = ∫∫D F(X(θ,φ)).n.dθ.dφ =

= ∫∫D (cos θ.sin φ,sin θ.sin φ,cos φ).sin φ.(sin φ.cos θ,sin φ.sin θ,cos φ).dθ.dφ =

Integrales superficiales de campos vectoriales

= 2.π.(cos 0 - cos π) = 2.π.(1 - (-1)) = 2.π.(1 + 1) = 4.π

Flujo = 4.π

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