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Guía de ejercicios de integrales superficiales. TP09

Integrales: Solución del ejercicio n° 2 de integrales superficiales de campos vectoriales. Problemas resueltos.

Problema n° 2 de integrales superficiales de campos vectoriales.

Problema n° 2) Calcular el flujo entrante del campo (y, x, z²) a través de la hemisferio x² + y² + z² = 1, z ≥ 0

Si:

F = (y, x, z²)

S: x² + y² + z² = 1, z ≥ 0

Parametrizando la esfera:

x = cos θ.sen φ
y = sen θ.sen φ
z = cos φ

X(θ, φ) = (cos θ.sen φ,sen θ.sen φ,cos φ)

0 ≤ θ ≤ 2.π
0 ≤ φ ≤ π/2

Hallamos el vector normal:

Xθ = (-sen θ.sen φ, cos θ.sen φ, 0)

Xφ = (cos θ.cos φ, sen θ.cos φ, -sen φ)

n = Xθ ∧ Xφ =

E1

-E2

E3

-sen θ.sen φ

cos θ.sen φ

0

cos θ.cos φ

sen θ.cos φ

-sen φ

n = Xθ ∧ Xφ = [-sen φ.cos θ.sen φ, -(-sen θ.sen φ).(-sen φ),-sen θ.sen φ.sen θ.cos φ - cos θ.sen φ.cos θ.cos φ]

n = (-sen² φ.cos θ,-sen θ.sen² φ,-sen² θ.sen φ.cos φ - cos² θ.sen φ.cos φ)

n = [-sen² φ.cos θ,-sen θ.sen² φ, -sen φ.cos φ.(sen² θ + cos² θ)]

n = (-sen² φ.cos θ,-sen θ.sen² φ, -sen φ.cos φ)

n = -sen φ.(sen φ.cos θ,sen θ.sen φ, cos φ)

Para el punto:

(0,1,0) ⇒ θ = π/2 y φ ≤ π/2

El vector normal apunta hacia adentro de la esfera:

n = -1.(0,1,0)

Como se pide el flujo entrante el vector normal es el buscado:

Parametrizamos el campo:

F(X(θ, φ)) = (sin φ .sin θ,sin φ .cos θ,cos² φ)

Aplicamos la integral:

∫∫S F(X).ds = ∫∫D F(X(θ,φ)).n.dθ.dφ =

= ∫∫D (sin φ .sin θ,sin φ .cos θ,cos² φ).[-sen φ.(sen φ.cos θ,sen θ.sen φ, cos φ)].dθ.dφ =

= -∫∫D (sin² φ.sin θ.cos θ + sin² φ.sin θ.cos θ + cos³ φ).sin φ.dθ.dφ =

= -∫∫D (2.sin² φ.sin θ.cos θ + cos³ φ).sin φ.dθ.dφ =

= -∫∫D [2.(1 - cos² φ).sin θ.cos θ + cos³ φ].sin φ.dθ.dφ =

= -∫∫D (2.sin θ.cos θ - 2.cos² φ.sin θ.cos θ + cos³ φ).sin φ.dθ.dφ =

= -∫∫D (2.sin θ.cos θ.sin φ - 2.sin θ.cos θ.cos² φ.sin φ + cos³ φ.sin φ).dθ.dφ =

= - 2.∫∫D sin θ.cos θ.sin φ.dθ.dφ - 2.∫∫D sin θ.cos θ.cos² φ.sin φ.dθ.dφ + ∫∫D cos³ φ.sin φ.dθ.dφ =

Integrales superficiales de campos vectoriales

Integrando entre los límites:

Integrales superficiales de campos vectoriales

Integrales superficiales de campos vectoriales

Flujo = -π/2

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