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Guía de ejercicios de teorema de Stokes. TP10

Integrales: Solución del ejercicio n° 1 de teorema de Stokes. Campos centrales. Integrales sobre superficies. Problema resuelto.

Problema n° 1 de integrales.

Problema n° 1) Verificar el teorema de Stokes si F = (x, y, z) y S es la superficie z = x² + y², z ≤ 1.

Parametrizamos la superficie S1:

X(u,v) = (u, v, 0), u² + v² ≤ 1

Calculamos n:

Xu = (1,0,0)

Xv = (0,1,0)

n = Xu ∧ Xv =

E1

-E2

E3

1

0

0

0

1

0

n = (0,0,1)

n apunta hacia z > 0.

Hallamos el rotF:

rot F =

E1

-E2

E3

∂/∂x

∂/∂y

∂/∂z

x

y

z

rot F = (∂y/∂y - ∂x/∂z,- ∂y/∂x + ∂z/∂z, ∂x/∂x + ∂z/∂y) = (1 - 0,-0 + 1,1 - 0)

rot F = (1,1,1)

Planteamos la integral del segundo miembro:

∫∫SC rot F.dS = ∫∫S1 rot F.dS = ∫∫D (1,1,1).(0,0,1).du.dv = ∫∫D du.dv

Pasando a sistema de coordenadas polares:

u = r.cos θ

v = r.sen θ

→ |J| = r →

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2.π

∫∫D du.dv = ∫∫ r.dr.dθ

Teorema de Stokes

Para el primer miembro parametrizamos la frontera de S1, es decir ∂S:

C = (cos t, sin t, 1), 0 ≤ t ≤ 2.π

Preparamos las partes de la integral:

C´ = (-sin t, cos t, 0)

F(C(t)) = (1, cos t, sin t)

Planteamos la integral del primer miembro:

Teorema de Stokes

Verificado.

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