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Ejercicios resueltos de campos centrales. Integrales sobre superficies. TP-10

Integrales: Solución del ejercicio n° 6 de teorema de Stokes. Campos centrales. Integrales sobre superficies. TP-10

Problema n° 6 de integrales. TP-10

Problema n° 6) Sea F = α (r).X, con r = ||X||, un campo central de clase C¹ en , y sea S la superficie regular x² + y² + r²/4 = 1, z ≥ 0. Verificar el teorema de Stokes.

Por ser un campo de forma F = α (r).X es conservativo en , resultando rotF = 0, luego:

∫∫S α rotF.dS = 0

concluyendo con el segundo miembro del teorema, para el primer miembro y con un esquema similar a la figura del ejercicio 3, parametrizamos la frontera de S1, es decir ∂S:

C = (cos t, sin t, 0), 0 ≤ t ≤ 2.π

Preparamos las partes de la integral:

C´ = (-sin t, cos t, 0)

De la superficie surge que r = 1:

F(C(t)) = α (1).(cos t, sin t, 0)

Planteamos la integral del primer miembro:

Teorema de Stokes

Verificado.

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