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Guía de ejercicios de teoremas integrales. TP11

Integrales: Solución del ejercicio n° 1 de parametrización y vector normal. Ecuación del plano tangente y de la recta normal a una superficie. Problemas resueltos.

Problema n° 1 de integrales.

Problema n° 1) Escribir la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie:

x = u + v
y = 1/u
z = u.v

en correspondencia a u = 1 y v = 0.

La ecuación es:

X = (u + v, 1/u, u.v)

Sus derivadas son:

Xu = (1, -1/u², v)

Xv = (1, 0, u)

En el punto son:

Xu|(1,0) = (1, -1, 0)

Xv|(1,0) = (1, 0, 1)

X|(1,0) = X0 = (1 + 0, 1/1, 1.0) ⇒ X0 = (1, 1, 0)

El producto vectorial es:

Xu × Xv = (1,-1,0)×(1,0,1) =

E1

-E2

E3

1

-1

0

1

0

1

Xu × Xv = [-1 - 0, -(1 - 0), 0 - (-1)]

Xu × Xv = (-1, -1, 1)

Plano tangente:

Z.(Xu × Xv) = X0.(Xu × Xv) ⇒ (x,y,z).(-1,-1,1) = (1,1,0).(-1,-1,1)

- x - y + z = - 1 - 1 ⇒ - x - y + z = -2 ⇒ x + y - z = 2

Recta Normal:

Z = X0 + t.(Xu × Xv) ⇒ (x, y, z) = (1, 1, 0) + t.(-1, -1, 1)

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