Problema n° 5 de integrales - TP11
Enunciado del ejercicio n° 5
Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie:
X(u, v) = (u² - 1, u·v, v + 2)
En el punto (0, 2, 0), siempre y cuando el problema esté bien puesto.
Desarrollo
Fórmulas:
Plano tangente: Z·(Xu·Xv) = X0·(Xu·Xv)
Recta normal: Z = X0 + t·(Xu·Xv)
Solución
u² - 1 = 0 ⇒ u² = 1 ⇒ u = ±1
u·v = 2 ⇒ u·(-2) = 2 ⇒ u = -1
v + 2 = 0 ⇒ v = -2
(u, v) = (-1, -2)
Sus derivadas son:
Xu = (2·u, v, 0)
Xv = (0, u, 1)
En el punto son:
Xu|(-1, -2) = (-2, -2, 0)
Xv|(-1, -2) = (0, -1, 1)
X(-1, -2) = (0, 2, 0)
El producto vectorial es:
Xu·Xv = (-2, -2, 0)·(0, -1, 1) = | E1 | -E2 | E3 |
-2 | -2 | 0 | |
0 | -1 | 1 |
Xu·Xv = (-2, 2, 2)
Plano tangente:
Z·(Xu·Xv) = X0·(Xu·Xv)
(x, y, z)·(-2, 2, 2) = (0, 2, 0)·(-2, 2, 2)
-2·x + 2·y + 2·z = 4
-x + y + z = 2
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo hallar la ecuación cartesiana del plano tangente a una superficie