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Guía de ejercicios de teoremas integrales. TP11

Integrales: Solución del ejercicio n° 5 de parametrización y vector normal. Ecuación del plano tangente y de la recta normal a una superficie. Problemas resueltos.

Problema n° 5 de integrales.

Problema n° 5) Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie:

X(u, v) = (u² - 1, u.v, v + 2)

en el punto (0,2,0), siempre y cuando el problema esté bien puesto.

u² - 1 = 0 ⇒ u² = 1 ⇒ u = ±1

u.v = 2 ⇒ u.(-2) = 2 ⇒ u = -1

v + 2 = 0 ⇒ v = -2

(u,v) = (-1, -2)

Sus derivadas son:

Xu = (2.u,v,0)

Xv = (0,u,1)

En el punto son:

Xu|(-1,-2) = (-2, -2, 0)

Xv|(-1,-2) = (0, -1, 1)

X(-1,-2) = (0, 2, 0)

El producto vectorial es:

Xu × Xv = (-2,-2,0)×(0,-1,1) =

E1

-E2

E3

-2

-2

0

0

-1

1

Xu × Xv = (-2, 2, 2)

Plano tangente:

Z.(Xu × Xv) = X0.(Xu × Xv) ⇒ (x,y,z).(-2,2,2) = (0,2,0).(-2,2,2)

-2.x + 2.y + 2.z = 4 ⇒ - x + y + z = 2

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