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Guía de ejercicios de integrales superficiales. TP13

Integrales: Solución del ejercicio n° 15 de integrales superficiales de campos vectoriales. Problema resuelto.

Problema n° 15 de integrales.

Problema n° 15) Calcular el flujo saliente del campo anterior a través del embudo determinado por las superficies:

S1: x² + y² = 1

0 ≤ z ≤ 1

S2: x² + y² - z² = 0

1 ≤ z ≤ 4

Aplicamos la fórmula para las superficies por separado, luego el flujo total será la suma de ambos flujos.

Parametrizamos la primera superficie:

X(θ,z) = (cos θ, sen θ,z)

D1: 0 ≤ z ≤ 1 →

0 ≤ θ ≤ 2·π
0 ≤ z ≤ 1

Calculamos n:

Xθ = (- sen θ, cos θ, 0)

Xz = (0,0,1)

n =

E1

-E2

E3

= (cos θ,-(- sen θ),0) = (cos θ, sen θ, 0)

- sen θ

cos θ

0

0

0

1

n = (cos θ, sen θ, 0)

F(X(θ,z)) = (cos θ, sen θ, 2·π - cos θ - sen θ)

El flujo saliente de la primera superficie será:

Flujo1 = ∫∫S1 F(X) = ∫∫D1 F(X(θ,z))·n·dθ·dz = ∫∫D1 (cos θ, sen θ, 2·π - cos θ - sen θ)·(cos θ, sen θ, 0)·dθ·dz

Flujo1 = ∫∫D1 (cos² θ + sen² θ)·dθ·dz = ∫∫D1 dθ·dz = Integrales superficiales de campos vectoriales = 2·π

Parametrizamos la segunda superficie:

X(θ,z) = (z·cos θ, z·sen θ,z)

D2: 1 ≤ z ≤ 4 →

0 ≤ θ ≤ 2·π
1 ≤ z ≤ 4

Calculamos n:

Xθ = (- z·sen θ, z·cos θ, 0)

Xz = (cos θ,sen θ,1)

n = Xθ ∧ Xz =

E1

-E2

E3

= [z·cos θ,-(- sen θ),-z·(sen θ)·(sen θ) - z·(cos θ)·(cos θ)]

- z·sen θ

z·cos θ

0

cos θ

sen θ

1

n = (z·cos θ, z·sen θ, - z·sen² θ - z·cos² θ)

n = (z·cos θ, z·sen θ, - z·(sen² θ + z·cos² θ)) = (z·cos θ, z·sen θ, - z)

F(X(θ,z)) = (z·cos θ, z·sen θ, 2·z - z·cos θ - z·sen θ)

El flujo saliente de la segunda superficie será:

Flujo2 = ∫∫S2 F(X) = ∫∫D2 F(X(θ,z))·n·dθ·dz = ∫∫D2 (z·cos θ, z·sen θ, 2·z - z·cos θ - z·sen θ)·(z·cos θ, z·sen θ, - z)·dθ·dz

Flujo2 = ∫∫D2 (z²·cos² θ + z²·sen² θ - z·(2·z - z·cos θ - z·sen θ))·dθ·dz

Flujo2 = ∫∫D2 (z²·(cos² θ + sen² θ) - 2·z² + z²·cos θ + z²·sen θ)·dθ·dz

Flujo2 = ∫∫D2 (z² - 2·z² + z²·cos θ + z²·sen θ)·dθ·dz

Flujo2 = ∫∫D2 z²·(- 1 + cos θ + sen θ)·dθ·dz

Integrales superficiales de campos vectoriales

Flujo2 = 21·(-2·π + (sen 2·π - sen 0) - (cos 2·π - cos 0))

Flujo2 = 2.1·(-2·π - (1 - 1)) = -42·π

El flujo total es:

Flujo = Flujo1 + Flujo2 = 2·π - 42·π = -40·π

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