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Guía de ejercicios de integrales superficiales. TP13

Integrales: Solución del ejercicio n° 15 de integrales superficiales de campos vectoriales. Problemas resueltos.

Problema n° 15 de integrales.

Problema n° 15) Calcular el flujo saliente del campo anterior a través del embudo determinado por las superficies:

S1: x² + y² = 1

0 ≤ z ≤ 1

S2: x² + y² - z² = 0

1 ≤ z ≤ 4

Aplicamos la fórmula para las superficies por separado, luego el flujo total será la suma de ambos flujos.

Parametrizamos la primera superficie:

X(θ,z) = (cos θ, sen θ,z)

D1: 0 ≤ z ≤ 1 →

0 ≤ θ ≤ 2.π
0 ≤ z ≤ 1

Calculamos n:

X θ = (- sen θ, cos θ, 0)

Xz = (0,0,1)

n =

E1

-E2

E3

= (cos θ,-(- sen θ),0) = (cos θ, sen θ, 0)

- sen θ

cos θ

0

0

0

1

n = (cos θ, sen θ, 0)

F(X(θ,z)) = (cos θ, sen θ, 2.π - cos θ - sen θ)

El flujo saliente de la primera superficie será:

Flujo1 = ∫∫ S1 F(X) = ∫∫ D1 F(X(θ,z)).n.d θ.dz = ∫∫ D1 (cos θ, sen θ, 2.π - cos θ - sen θ).(cos θ, sen θ, 0).d θ.dz

Flujo1 = ∫∫ D1 (cos² θ + sen² θ).d θ.dz = ∫∫ D1 d θ.dz = Integrales superficiales de campos vectoriales = 2.π

Parametrizamos la segunda superficie:

X(θ,z) = (z.cos θ, z.sen θ,z)

D2: 1 ≤ z ≤ 4 →

0 ≤ θ ≤ 2.π
1 ≤ z ≤ 4

Calculamos n:

X θ = (- z.sen θ, z.cos θ, 0)

Xz = (cos θ,sen θ,1)

n = X θ ∧ Xz =

E1

-E2

E3

= (z.cos θ,-(- sen θ),-z.sen θ.sen θ - z.cos θ.cos θ)

- z.sen θ

z.cos θ

0

cos θ

sen θ

1

n = (z.cos θ, z.sen θ, - z.sen² θ - z.cos² θ)

n = (z.cos θ, z.sen θ, - z.(sen² θ + z.cos² θ)) = (z.cos θ, z.sen θ, - z)

F(X(θ,z)) = (z.cos θ, z.sen θ, 2.z - z.cos θ - z.sen θ)

El flujo saliente de la segunda superficie será:

Flujo2 = ∫∫ S2 F(X) = ∫∫ D2 F(X(θ,z)).n.d θ.dz = ∫∫ D2 (z.cos θ, z.sen θ, 2.z - z.cos θ - z.sen θ).(z.cos θ, z.sen θ, - z).d θ.dz

Flujo2 = ∫∫ D2 (z².cos² θ + z².sen² θ - z.(2.z - z.cos θ - z.sen θ)).d θ.dz

Flujo2 = ∫∫ D2 (z².(cos² θ + sen² θ) - 2.z² + z².cos θ + z².sen θ).d θ.dz

Flujo2 = ∫∫ D2 (z² - 2.z² + z².cos θ + z².sen θ).d θ.dz

Flujo2 = ∫∫ D2 z².(- 1 + cos θ + sen θ).d θ.dz

Integrales superficiales de campos vectoriales

Flujo2 = 21.(-2.π + (sen 2.π - sen 0) - (cos 2.π - cos 0))

Flujo2 = 2.1.(-2.π - (1 - 1)) = -42.π

El flujo total es:

Flujo = Flujo1 + Flujo2 = 2.π - 42.π = -40.π

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