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Guía de ejercicios resueltos de integrales superficiales. TP05

Contenido: Integrales superficiales de funciones. Integrales dobles.

Ejercicios extraídos del libro "LECCIONES DE ANALISIS II" del Dr. Alfredo F. Novelli para Análisis Matemático II de UNLu.

Integrales superficiales de funciones

Fórmulas aplicables:

∫∫ S f(X).dσ = ∫∫ D f(X(u, v)).||Xu ∧ Xv||.du.dv

Ejercicio: Calcular las coordenadas del baricentro de la superficie:

z = x² + y²

Para:

z ≤ 1

Solución

Como la superficie presenta simetría del dominio con respecto a los planos y = 0 y x = 0, y la integranda presenta antisimetría con respecto a los mismos planos, resulta:

XG = YG = 0

Luego:

Integrales superficiales de funciones

Primero parametrizamos la superficie:

x = u

y = v

z = u² + v²

X(u, v) = (u, v, u² + v²)

Luego hallamos el vector normal a la superficie:

Xu = (1, 0, 2.u)

Xv = (0, 1, 2.v)

Xu ∧ Xv = (1, 0, 2.u)∧ (0, 1, 2.v) =

E1

E2

E3

= (-2.u, -2.v, 1)

1

0

2.u

0

1

2.v

Xu ∧ Xv = (-2.u, -2.v, 1)

Preparamos las partes para armar la integral:

Integrales superficiales de funciones

f(X(u,v)) = u² + v²

Armamos la integral:

I = ∫∫ S z.dσ = ∫∫ D f(X(u, v)).||Xu ∧ Xv||.du.dv

Integrales superficiales de funciones

Como el dominio es una circunferencia de radio = 1 cambiamos a sistema de coordenadas polares:

u = r.cos θ

v = r.sen θ

→ |J| = r →

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2.π

Integrales superficiales de funciones

Resolvemos:

Integrales superficiales de funciones

Aplicando un cambio de variable:

Integrales superficiales de funciones

Para el denominador:

AD = ∫∫ Sdσ = ∫∫ D ||Xu ∧ Xv||.du.dv

Integrales superficiales de funciones

Como el dominio es una circunferencia de radio = 1 cambiamos a sistema de coordenadas polares:

u = r.cos θ

v = r.sen θ

→ |J| = r →

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2.π

Integrales superficiales de funciones

Resolvemos:

Integrales superficiales de funciones

Mediante un cambio de variable:

w = 4.r² + 1

dw = 8.r.dr

(1/8).dw = r.dr

Integrales superficiales de funciones

La coordenada es:

Integrales superficiales de funciones

El baricentro es:

Integrales superficiales de funciones

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