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Guía de ejercicios de divergencia. TP06

Contenido: Aplicaciones del teorema de la divergencia al cálculo de una integral triple o de un volumen

Ejercicios extraídos del libro "LECCIONES DE ANALISIS II" del Dr. Alfredo F. Novelli para Análisis Matemático II de UNLu.

Guía de ejercicios de divergencia.

Resolver los siguientes ejercicios:

Fórmulas aplicables:

∫∫ ∂T F.dS = ∫∫∫ T div F.dT

Vol T = ∫∫ ∂T x.E1.dS

Vol T = ∫∫ ∂T y.E1.dS

Vol T = ∫∫ ∂T z.E1.dS

Problema n° 1) Calcular:

a) Calcular el flujo saliente del campo (x, y, z) a través de la esfera x² + y² + z² = 1.

Ver solución del problema n° 1-a

b) Calcular el flujo entrante del campo (y, x, z²) a través de la hemisferio x² + y² + z² = 1, z ≥ 0.

Ver solución del problema n° 1-b

c) Calcular el flujo saliente del campo (y, z.x, 1) a través de la esfera (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = ℜ².

Ver solución del problema n° 1-c

d) Calcular el flujo saliente del campo (y - z, z - x, x - y) a través de la superficie cónica z² = x² + y², 0 ≤ z ≤ h.

Ver solución del problema n° 1-d

e) Calcular el flujo saliente del campo (z, x, y) a través del cubo, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.

Ver solución del problema n° 1-e

f) Calcular el flujo saliente del campo (x, y, 2.z - x - y) a través del vaso cilíndrico determinado por las superficies:

S1: x² + y² = 1, 0 ≤ z ≤ 1

S2: z = 0, x² + y² = 1

Problema n° 2) Calcular:

∫∫ ∂T F.dS

donde F = X = (x, y, z) y T es el sólido comprendido entre dos superficies esféricas de centro en el origen y radios 1 y 2.

Ver solución del problema n° 2

Problema n° 3) Calcular el momento de inercia, respecto a su eje de simetría, del siguiente sólido homogéneo T generado por la rotación, alrededor del eje z, del dominio plano yz limitado por los ejes coordenados y por el arco de astroide:

(y, z) = (a.cos³ t, a.sin³ t) ; 0 ≤ t ≤ π/2, a > 0

El momento de inercia es:

Iz = M/V.∫∫∫ D (x² + y²).dx.dy.dz

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