Sucesiones
Diremos que {an} es convergente si:
| lim x ⟶ ∞ | an = L (infinito) |
Si {an} y {bn} son convergentes tales que:
| lim x ⟶ ∞ | an = L |
| lim x ⟶ ∞ | bn = M |
Entonces
{an} (±,*,/){bn} = L(±,*,/) M
Si:
| lim x ⟶ ∞ | |an| = 0 ⇒ | lim x ⟶ ∞ | an = 0 |
Dada {an} diremos que C ∈ ℜ es una cota superior de {an} si C ≥ an; B ∈ ℜ es una cota inferior si B ≤ an. Toda sucesión acotada, monótona (creciente o decreciente) y contínua es convergente, ya que tiende a su cota.
Series numéricas
Diremos que una serie ∑ an es convergente si:
| lim x ⟶ ∞ | ∑an = L (finito) |
Series Geométricas:
| ∑ n = 1 | K·rn - 1 | ; K·r ∈R |
La serie geométrica converge si |r| < 1 y converge a Sn = k/(1 - r)
Si ∑an y ∑bn son convergentes a A y B respectivamente entonces:
∑an ± ∑bn = A ± B
Si:
∑C·an; C = constante ⇒ C·∑ an = C·A
El carácter de convergencia de una serie no cambia si se le suprimen los n primeros términos.
Si dos series coinciden a partir de un término n, las dos tienen el mismo carácter.
| Dada ∑ an convergente ⇒ | lim x ⟶ ∞ | an = 0 |
| ∞ ∑ n = 1 | 1 np |
Es convergente para p > 1.
Criterio de la integral
Sea y = f(x) una función contínua, positiva y decreciente en [1, +∞) y tal que f(n) = an entonces:
| ∫ | +∞ | f(x)·dx |
| 1 |
y
| +∞ ∑ n = 1 | an |
Tienen el mismo carácter.
Criterio de comparación
∑ an y ∑bn de términos positivos.
Si ∑ an ≤ ∑bn ⇒ si ∑bn converge se tendrá que ∑ an converge. Y si ∑ an diverge entonces ∑bn diverge.
Comparación al límite (para series de términos positivos)
Si:| lim x ⟶ ∞ | an/bn = L (finito, positivo) an ≈ L·bn |
Entonces si an converge bn converge y viceversa.
Si:
| lim x ⟶ ∞ | an/bn = 0 |
Si bn converge an converge.
Si:
| lim x ⟶ ∞ | an/bn = + ∞ |
Si bn diverge an diverge.
Series alternas
| ∞ ∑ n = 1 | (-1)n + 1·an | ó | ∞ ∑ n = 1 | (-1)n·an |
Criterio para series alternas.
Si:
| lim x ⟶ ∞ | an = 0 |
Y {an} es decreciente, entonces la serie es convergente.
Convergencia absoluta
Dada ∑ an de términos de cualquier signo.
∑ |an| converge ⇒ ∑ an es convergente y diremos que ∑ an converge absolutamente.
Si ∑ |an| diverge y ∑ an converge, diremos que an converge condicionalmente.
Criterio de la razón
Si:
| lim x ⟶ ∞ | |an + 1|/|an| = L; L < 1 |
La serie converge absolutamente.
Si L = 1 no se puede concluir. Si L > 1 la serie diverge.
Criterio de la raíz
Si:
| lim x ⟶ ∞ | |an|1/n = L; L < 1 |
La serie converge absolutamente.
Si L = 1 no se puede concluir; si L > 1 la serie diverge.
Estimación del resto
Criterio de la integral.
Resto (Rn) = S - Sn = an + 1 + an + 2 + an + 3 + …
| ∫ | +∞ | f(x)·dx ≤ Rn ≤ ∫ | +∞ | f(x)·dx |
| n + 1 | n |
Para Series Alternas
|Rn| ≤ |an + 1| < error
Series de potencia
| +∞ ∑ n = 1 | Cn·(x - a)n |
Serie de potencia centrada en a
| ∞ ∑ n = 0 | Xn = | 1 1 - x | ⇒ |x| < 1 |
| ∞ ∑ n = 0 | Xn n! | = ex |
Si una serie de potencia es convergente para x = x1 ⇒ converge absolutamente para cualquier valor de x tal que |x| < |x1|.
Si una serie de potencia es divergente para x = x2 ⇒ también es divergente para cualquier valor de x tal que |x| > |x2|.
Serie de Taylor
Cn = fn(a)/n!
De lo que se obtiene:
| f(x) = | ∞ ∑ n = 0 | fn(a)·(x - a)n n! | = ex |
Si a = 0 entonces se habla de serie de McLaurin.
Autor: Olmo De Abreu. España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)