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Superficie de nivel. Parametrizaciones. Curvas en R3. AP12

Contenido: Conjuntos. Funciones. Superficie de nivel. Parametrizaciones. Curvas en R3.

ANALISIS II

Conjuntos:

Abierto: Es aquel que no incluye la frontera (todos los puntos son interiores).

Cerrado: Es aquel que incluye toda su frontera.

Acotado: R es acotado si ∃k > 0 / R ⊂ E (0, k)

Compacto: cerrado y acotado.

Conexo: Cuando dados 2 puntos cualesquiera del conjunto, se los puede unir con una curva que este incluida en el conjunto.

Convexo: Cuando dados 2 puntos cualesquiera del conjunto, el segmento que los une esta incluido en el conjunto.

Si es convexo:

No es convexo:

Funciones:

F: A ⊂ ℜm → , m > 1 campo vectorial

F: A ⊂ ℜn → R, m = 1 campos o funciones escalares

Conjunto de nivel (para campos escalares):

Definición: dada F: A ⊂ ℜn → R y k ⊂ R, se llama conjunto de nivel k de F al conjunto de puntos de A tal que F (x) = k

Para f: A ⊂ ℜ² → R: F (x, y) = k = > curva de nivel

Para f: A ⊂ ℜ³ → R: F (x, y, z) = k = > superficie de nivel

Interpretación geométrica: El conjunto de nivel k de una función de 2 variables x e y es la sombra o la proyección de la curva que resulta de intersectar el grafico de la función con el plano z = k.

Superficie de nivel:

F (x, y, z) = k

Ejemplos:

1) 3x-2y + z = k

para k = 1

3x-2y + z = 1

 

(x, y, z) (3, -2, 1) = k

fijo

 

para k = -2

3x-2y + z = -2

 

(x-a). v = 0 ⇒x. v = a. v

⇒Si varío k, varío el origen del plano (lo desplazo)

A medida que vario k me van quedando planos paralelos.

Ejemplos:

F (x, y) = y-2x, x ⊂ ℜ²

Planteo F (x, y) = k, k ⊂ R ⇒ y-2x = k ⇒y = 2x + k

F (x, y, z) = z-x²-y²-4

Planteo F (x, y, z) = k ⇒z-x²-y²-4 = k ⇒ z = x² + y² + 4 + k

Parametrizaciones: Curvas en ℜ²

a)F (x) = x², x ⊂ [-1, 4]

- Ecuación cartesiana del grafico de F:

y = F (x) = > Y = x², -1 ≤x ≤ 4

- Ecuación vectorial del grafico de F

x = (t, t²), t ⊂ [-1, 4]

- Ecuaciones paramétricas del grafico de F

x = t y = t², t ⊂ [-1, 4]

La función g: [-1, 4] → ℜ² se denomina parametrización del grafico de F y esta definida por: g (t) = (t, t²), t ⊂ [-1, 4]

b)F (x) = 2x + 1, x ⊂ R Ec cartesiana y = 2x + 1, x ⊂ R.

Parametrización: intento x = t ⇒y = 2t + 1 } g (t) = (t, 2t + 1), t ⊂ R

X = (t, 2t + a), t ⊂ R Ec vectorial.

Parametrización de una circunferencia:

x² + y² = R²

EP x = R cos (t), t ⊂ [0, 2 π ]

 

y = R sen (t)

EV x = (R cos (t), R sen (t)), t ⊂ [0, 2 π ]

G = (R cos (t), R sen (t)), t ⊂ [0, 2 π ]

Obs: Para recorrer las curvas de manera inversa a la normal: de [a, b] pasa a [-b, -a]

Curva: Definición: Dada una función g: [a, b]⊂ R → ℜn, continua, se llama curva al conjunto imagen de g

Curva no completa = arco de curva.

Curvas en ℜ³

Z + y = 3

EP =

x = t

 

Y = x²

 

y = t²

EVG (t) = (t, t², 3-t²), t ⊂ R

 

Z = 3-t²

   

Superficie: Definición: Dada una función g: A ⊂ ℜ² → ℜn, continua, se llama superficie al conjunto imagen de g

Limites: Propiedades:

6) si x tendiendo a a F(x) = b ∧ y tiende a b g(y) = L ⇒ x tendiendo a a (g o F)(x) = L

7) si x tendiendo a a F(x) = L ⇔ x tendiendo a a Fi(x) = Li, 1 ≤ i ≤ m; (se acercan las componentes).

Limites por curvas: Si no ∃el lim para alguna curva parametrizada por g tal que g (t0) = A ⇒no ∃ x tendiendo a a F(x)

Ejemplo: Análisis de funciones(x - y - 2)/(x - 1)

Tomo y = 1 ⇒ x tendiendo a 1(x - 1)/(x - 1) = 1

Tomo x = 1 ⇒ Análisis de funciones(y - 1)/(1 - y) = -1

Luego, no existe Análisis de funciones F(x,y) = 1

Obs: La curva que propongo, debe pasar por el punto de trabajo del limite.

Recordar: |x| ≤ |x| ⇒ x² ≤ x² + y² ⇒ x²/(x² + y²) ≤ 1

Continuidad:

5) F continua en x0 yG continua en F (x0) ⇒(G0F) continua en x0.

6) F continua en x0 < = > Fi continua en x0, 1≤i ≤ m

Tipos de discontinuidad:

1) Esencial: cuando no existe x tiende a x subcero F(x)

2) Evitable: cuando existe el lim pero no F (x0) o bien ∃F (x0) pero lim ≠ F (x0)

Derivabilidad: Definición: derivada direccional: dada F: A ⊂ ℜn → ℜm, x0 y ř ⊂ ℜn, se define la derivada direccional de F en x0 según el versor ř como:

F´(x0,γ) = h tiende a cero [F(x0 + h.γ) - F(x0)]/h = ∂F(x0)/∂γ

Propiedades: principio de homogeneidad: F ´ (x0, λ ř) = λ F ´ (x0, ř), λ ≠ 0, λ ⊂ R

Propiedad 2: Si existe la derivada direccional en un punto, existen las derivadas de las componentes y viceversa.

Derivadas parciales: caso especial de direccionales. Una derivada parcial es una direccional respecto de un versor de la base canónica.

Regla practica de calculo:

1) F (x, y) = ln (x² + y²)

x(x, y) = 2.x/(x² + y²)

y(x, y) = 2.y/(x² + y²)

Dom (F´x) I Dom (F)

Observación: La derivada de un vector es la derivada de las componentes.

Interpretación geométrica:

Válida para F: A ⊂ ℜ² → R

F´(x0,y0) = h tiende a cero [F(x0 + h,y0) - F(x0,y0)]/h = tg α

Teorema del valor medio:

a) dada F: [a, b] → R, continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe c ⊂ (a, b) tal que:

F (b)-F (a) = F´ (c). (b-a)

b) Dada F: A ⊂ ℜn → R, A abierto y convexo, F ⊂ C¹, a ⊂ A y b ⊂ A, entonces:

F (b) - F (a) = F ´ (c, b-a) = F ´ (c, ř) |b-a|, γ = (b - a)/|b - a|, c ⊂ segmento a b,

c ≠ a y c ≠ b

Aplicaciones a curvas: Definición: Punto regular: Dada C curva de ℜn, de ecuación vectorial x = g (t) t ⊂ A, se dice que A ⊂ C, A = g (t0), es un punto regular de C si : a)∃g ´ (t0) y b) g ´ (t0) ≠ 0

Observaciones:

a) si un punto no es regular se lo llama singular.

b) Si una curva tiene todos los puntos regulares ⇒es regular.

Vector tangente

Definición: Dada C c ℜn (C curva de ℜn) una curva regular, entonces el vector g ´ (t0) es tangente a la curva en el punto g (t0) siendo x =g (t), t ⊂ A, la ecuación vectorial de la curva, y t0 ⊂ A.

F´(t0) = h tiende a cero [F´x(t0 + h) - F´x(t0)]/h (estamos con una sola variable)

Recta tangente

La curva se confunde con la recta tangente en el punto dado. En ℜ² y en ℜ³: x = λ g ´ + g (t0), λ ⊂ R

Plano normal en ℜ³

Ec vectorial g ´ (t0). (x-g (t0)) = 0

G1´ (t0) (x-g1 (t0)) + g2´ (t0) (y-g2 (t0)) + g3´ (t0) (z-g3 (t0)) = 0

Gradiente: se define solo para campos escalares, F A ⊂ ℜn → R

Grad(F)(x0) = ∇F(x0) =[∂F(x0)/∂x1, ∂F(x0)/∂x2, ... , ∂F(x0)/∂xn,]

Dom (∇F) = dom (F ´ x1) ∩ dom (F ´ x2) ∩. . . dom (F ´ xn) ⊂ dom (F)

∇F: B ⊂ ℜn → ℜn

Derivadas de orden superior (parciales)

Definiciones: dada F: A ⊂ ℜ² → R, F ⊂ C² (clase 2), se define:

F"(x0,y0) = Análisis de funciones = h tiende a cero [F´x(x0 + h,y0) - F´x(x0,y0)]/h

Las derivadas que tienen las mismas letras son iguales: F"´ xxy = F"´ xyx = F"´ yxx

Dominios: Dom (F´ x) ⊂ Dom (F)

Dom (F´ y) ⊂ Dom (F)

Dom (F" yx) ⊂ Dom (F´x) ⊂ Dom (F)

Dom (F" yx) ⊂ Dom (F´y) ⊂ Dom (F)

Teorema de Schwartz

Dada F: A ⊂ ℜn → R, x0 ⊂ A, entonces si∃ F" xy (x) ∀ x ⊂ E (x0) y F" yx (x)∀ x ⊂ E (x0) y F" xy continua en E (x0) y F" yx continua en E (x0), debe ser F" xy (x0) = F" yx (x0)

Generalmente pasa para funciones continuas

Extensión a mayor orden

Tomo F: A ⊂ ℜn → R, suponemos derivadas parciales de cualquier orden continuas.

Entonces: a) Por el teorema de Schwartz ⇒ F" xy = F" yx

Luego F"´ xyx = F"´ yxx, por ser la derivada de la misma función.

b)Tomamos F´x, por teorema de Schwartz F"´ xxy = F"´ xyx

c)Finalmente, por a y b resulta: F"´ xxy = F"´ xyx = F"´ yxx

Ejemplo:

1)

F (x, y) = e xy

F" xx = y².e xy

F"´ xxy = 2.y.e xy + y².x.e xy

x = y.e xy

F" yy = x² .e xy

F"´ xyx = 2.y.e xy + y².x.e xy

y = x.e xy

F" xy = e xy + y.x.e xy

F"´ yxx = 2.y.e xy + y².x.e xy

-

F" yx = e xy + x.y.e xy

-

Diferenciabilidad:

Definición: Dada F: A ⊂ ℜn → ℜn, x0 ⊂ A, A abierto, se dice que F es diferenciable en x0 si ∃ D (x0)⊂
R mxn tal que:

Análisis Matemático [F(x) - F(x0) - dF(x0).(x - x0)]/|x - x0| = 0

F´ ((a, b), ř) = ∇F (a, b).ř (Si F es diferenciable)

Propiedades:

F es F, G es G y x0 es x0

1)F y G diferenciables en x0 ⇒ F + G diferenciables en x0

2) F diferenciable en x0 ⇒ λ F diferenciable en x0

3) F y G diferenciables en x0 ⇒ FG diferenciable en x0

4)F diferenciable en x0 y F (x0) ≠ 0 ⇒ 1/F diferenciable en x0

5)F diferenciable en x0 y g diferenciable en F (x0) ⇒ goF diferenciable en x0

6)F diferenciable en x0 < = > Fi diferenciable en x0, 1≤ i ≤ m

Teorema: Dada F: A ⊂ ℜn → ℜm, A abierto, x0⊂ A, tal que F es diferenciable en x0, entonces F es continua en x0.

Corolario: Si F no es continua en x0 = > F no es diferenciable en x0

Teorema: Dada F: A ⊂ ℜn → ℜm, A abierto, x0⊂ A, tal que F es diferenciable en x0, entonces ∃ F´ (x0, ř),∀ ř ⊂ ℜn. (Existe la derivada en cualquier dirección).

Corolario:

1) Si para algún ř ⊂ ℜn no∃ F´ (x0, ř) ⇒ F no es diferenciable en x0.

2) Si para algún ř ⊂ ℜn ∃ F´ (x0, ř) pero F´ (x0, ř) ≠ dF (x0) ř ⇒ F no es diferenciable en x0.

La matriz dF (x0) es la matriz de las derivadas parciales de F en x0. Se llama matriz Jacobiano.

Ejemplo:

1) F (x, y) = (xy², x²ey)

dF =

2.x.y

=

1

2

2.x.ey

x².ey

3

4

Siendo:

1 la derivada con respecto a x de xy²

2 la derivada con respecto a y de xy²

3 la derivada con respecto a x de x²ey

4 la derivada con respecto a y de x²ey

2)

Plano tangente al grafico de F en el punto (x0, y0, F (x0, y0))

Zt = F (x0) + F´ (x0) (x-x0) + F´y (x0) (y-y0) Luego: F (x) ≈ Zt, x ⊂ E (x0)

Análisis de Continuidad

Límite tendiendo a 0 (x².y)/(x² + y²) = Límite tendiendo a 0 y.[x²/(x² + y²)] = 0; x²≤ x² + y² → hace acotada

Análisis de Derivabilidad

Aplicación a superficies

Superficie: Definición: Dada G, A ⊂ ℜ² → ℜ³, continua, se llama superficie al conjunto imagen de G. Dicha superficie tendrá la ecuación vectorial x = G (u; w); (u; w) ⊂ A

Clasificación de funciones:

1)F ⊂ C° (o es de clase C°) continua

2)F ⊂ C¹ (o es de clase C¹): tiene derivadas parciales continuas.

3)F ⊂ C² (o es de clase C²): tiene derivadas parciales de segundo orden continuas.

∞)F ⊂ C (o es de clase C∞): tiene derivadas parciales de todo orden continuas.

Propiedad: Si F es de una clase también es de todas las clases inferiores.

Teorema: Dada F: A ⊂ ℜn → ℜm, A abierto, tal que F⊂ C¹ en E (x0) ⇒ F es diferenciable en x0

Punto regular:

Dado S ⊂ ℜ³ una superficie de ecuación vectorial x = G (u; w), se dice que el punto x0 = G (u0; w0) ⊂ S es regular si: a) ∃ G´u (u0; w0) y∃ G´w (u0; w0)

b) G´u (u0; w0) x G´w (u0; w0) ≠ 0 (No paralelos)

Si todos los puntos de una S son regulares, es una superficie regular, si además los G´u y G´w no colinan es una S lisa o suave.

Teorema: Dada A ⊂ ℜ² → R, A abierto, F es diferenciable en x0⊂ A ⇒ el grafico de F es una superficie regular en el punto (x0, y0, F (x0, y0))

Si F diferenciable: Vector Normal: (-F´u, -F´w, 1) o (F´u, F´w,-1)

Plano tangente a una superficie: Definición: Dada S ⊂ ℜ³ una superficie regular de ecuación vectorial x = G (u, w), (u, w)⊂ A ℜ², se define el plano tangente a S en le punto A = G (u0, w0) como:

u (u0, w0) x G´w (u0, w0).(x - G (u0, w0)) = 0

Teorema: Dada F A ⊂ ℜ² → R, A abierto, F diferenciable en x0⊂ A, entonces la ecuación del plano tangente al grafico de F en el punto (x0, y0, F (x0, y0)) es:

Z = F (x0, y0) + F´x (x0, y0) (x-x0) + F´y (x0, y0) (y-y0)

Observación: Con el mismo vector G´u X G´w se puede definir la recta normal a S:

x = λ (G´u (u0, w0) x G´ (u0, w0)), λ ⊂ R

O bien la recta normal al grafico de F.

x = λ (-F´x (x0, w0), -F´y (x0, y0), 1) + (x0, y0, F (x0, y0)), λ ⊂ R

Composición de funciones:

Teorema: Dada F: A ⊂ ℜn → ℜm, diferenciable en A, G: b⊂ ℜm → Rp, diferenciable en b, con F (A) ⊂ b, entonces:

D (g0f) (x0) = Dg (f (x0)). Df (x0), x0 ⊂ A. Se usan matrices Jacobiano.

Corolario: Dada F: A ⊂ ℜn → R, diferenciables en A, entonces ∇ f (x0) es perpendicular al conjunto de nivel f (x) = f (x0), en le punto x0.

R²: ∇F (G (t)) ˆ G´ (t)

R³: ∇F (G (u, w)) ˆ al plano tangente a la superficie de nivel en el punto G (u, w)

Regla practica para derivar:

F = F (u, w)

 

u

 

x → x = F´ux + F´wx

Con todos los caminos posibles
que conducen a la variable de derivación

u = u (x, y)

resulta F

 

Análisis Matemático

 

w = w (x, y)

h (x, y)

w

 

y → y = F´uy + F´wy

x x = (x, y).(x, y) = x² + y² = |x|²

Para diferenciablidad:

Límite tendiendo a 0 [F(x) - F(0) - ∇F(0).(x - 0)]/|x - 0|

"Como el grafico de F tiene recta normal en (1, 0, 1) entonces F es diferenciable en (1, 0)

Funciones definidas en forma explícita:

Teorema: F (x0, y0) = 0 y F´y (x0, y0) ≠ 0 ⇒ F (x, y) = 0 define localmente en forma implícita una única función Y = Y (x) tal que:

a) y (x0) = y0

b) y (x0) = Fx(x0, y0)/Fy(x0, y0)

Z = f(x,y)

x + y.z - ez = 0 → F(x,y,z)

z = y - ez

x = -F´x/F´z = -1/(y - ez)

Z"xx = -ez.z´x /(y - ez)² = [-ez/(y - ez)³].z´x = F´y /F´z

Extremos:

Absoluto: F (a) ≥ F (x) ∀ x Local: F (a) ≥ F (x)∀ x ⊂ E (a)

Obs: punto frontera solo puede ser extremos absoluto.

Teorema: Si existe la derivada con respecto a un vector en un extremo entonces es cero.

Obs:

a)si para algún versor la derivada da ≠ 0 ⇒ no es extremo local

b)Si no ∃ F´ (a, ř) ⇒ nada puede asegurarse.

Teorema: F diferenciable /F (a) es extremo local, entonces debe ser ∇F (a) = 0 (punto crítico o estacionario)

Teorema: F diferenciable /∇F (a) = 0 ⇒ F (a) es punto silla F (x1)≤ F (a)≥F (x2)

Matriz Hesiano: F ⊂ C² /∇F (a) = 0

F" xx (a)

F" xy (a)

 

det H (a) > 0 y F" xy (a) < 0 Υ F" yy (a) > 0 ⇒F (a) es mínimo local

H (a) =

F" xy (a)

F" yy (a)

det H (a) > 0 y F" xx (a) < 0 Υ F" yy (a) < 0 ⇒F (a) es máximo local

 

det H (a) < 0 ⇒ F (a) punto silla

det H (a) = 0 nada se sabe.

Casos de funciones escalares diferenciables

Derivadas máximas: řmáxima = ∇F (x0); řmin = - ∇F (x0)

En ℜ²: ř0 = (F´y (x0), - F´x (x0)) ř0 = (-F´y (x0), F´x (x0))

F´ (x0, řmáxima) = |∇F (x0)| F´ (x0, řmin) = -|∇F (x0)|

Desarrollo de Taylor: ℜ² → R : a = (a1, a2)

F (x, y) = F (a1, a2) + F´x (a) (x-a1) + F´y (a) (y-a2) +

+

+

1/2[F" xx (a) (x-a1)² + F" yy (a) (y-a2)² + 2F" xy (a) (x-a1) (y-a2)]

+

1/6[F"´ xxy (a) (x-a1)³ + F"´ (a) (y-a2)³ + 3F"´ xxy (a) (x-a1)² (y-a2) + 3F"´ yyx (a) (x-a1) (y-a2)²]

Extremos condicionados:

Teorema (Lagrange - Para puntos críticos)

Dada F: A ⊂ ℜn → R, A abierto, f ⊂ C² y dadas Fi: A⊂ ℜn — R, Fi ⊂ C², 1≤ i≤ n con m < n.

Entonces los extremos locales de F sujetos a las condiciones Fi (x) = 0, 1≤ i = m, se pueden obtener estudiando los extremos locales de la siguiente función.

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