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Propiedades de los números complejos o imaginarios. AP01

Contenido: Representación gráfica de un número complejo. Números conjugados y opuestos. Potencia. Producto. Cociente. Inverso. Radicación de un complejo

Números Complejos

1. Números concretos

Un número complejo Z es un par ordenado de números reales (a,b) a,b ∈ ℜ

a = 1ª componente o componente real

b = 2ª componente o componente imaginaria

Z1 =(a,0) es un número real

Z2 =(0,b) es un número imaginario

Z3 =(a,b) es un número complejo

2. Unidad imaginaria

La unidad imaginaria es √-1 = i

3. Representación gráfica de un número complejo

Un número complejo Z = (a,b) se representa por un vector OPsiendo P = (a,b)

El eje horizontal es el eje real. El eje vertical es el eje imaginario.

z = (a, b) = a + b.i = OP

4. Formas de expresar un número complejo

- Forma vectorial o par ordenado Z = (a,b)

- Forma binómica Z = a + b.i

- Forma polar Z = r α

El módulo de un número complejo Z es r y es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la componente real y la componente imaginaria.

r = √a² + b²

El argumento del número complejo Z es α y es el ángulo que forma el número complejo Z con el eje real (en sentido positivo).

Z = r α

- Forma trigonométrica o módulo argumental Z = r.(cos α + i.sen α)

r = √a² + b²/α = arctg (b/a)

5. Números conjugados y opuestos de otro complejo

Dado un complejo Z = a + b.i, su conjugado (Z) tiene la misma parte real y opuesta la parte imaginaria.

Z = a - b.i

El complejo opuesto de Z = a + b.i es -Z y tiene opuestas las componentes real e imaginaria de Z.

-Z = -a - b.i

6. Potencias de la unidad imaginaria

i° = 1

i¹ = i = √-1

i² = -1

i³ = -i

i4 = 1

Cuando el exponente es superior a 4 se divide entre 4, igualando el enunciado a i elevado al resto de la división.

in = i4.c + r = i4c.ir = (i4)c.ir = ir

c: es el cociente,

r: es el resto de la división,

Ejemplo:

Si el exponente es „9„, entonces:

c = 2

r = 1

7. Operaciones con números complejos

a) En forma binómica

1. Suma

Z1 + Z2 = (a + b.i) + (c + d.i) = (a + c) + (b + d).i

2. Resta

Z1 - Z2 = (a + b.i) - (c + d.i) = (a - c) + (b - d).i

3. Producto

Z1.Z2 = (a + b.i).(c + d.i) = (a.c - b.d) + (b.c + a.d).i

4. Producto de un número real por un número complejo

k ∈ ℜ

k.Z1 = k.(a + b.i) = k.a + k.b.i

5. Cociente

NUMEROS COMPLEJOS O IMAGINARIOS

6. Inverso de un número complejo

NUMEROS COMPLEJOS O IMAGINARIOS

7. Potencia de un complejo

Z1² = (a + b.i)² = a² + (b.i)² + 2.a.b.i = a² + b².i² + 2.a.b.i = a² - b² + 2.a.b.i

b) En forma polar

1. Producto de complejos

Z1.Z2 = (r1) α 1.(r2) α 2 = (r1.r2) α 1 + α 2

2. Cociente de complejos

NUMEROS COMPLEJOS O IMAGINARIOS

3. Potencia de un complejo

Z1n = (r α )n = rn

4. Radicación de un complejo

La raíz enésima de un complejo Z = r α tiene por módulo la raíz enésima de su módulo. Su argumento es:

(α + 360°.k)/n

El número de raíces es n para k=0; k=1;...k=n-1.

NUMEROS COMPLEJOS O IMAGINARIOS

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