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Números reales. Números elementales - primera parte

Contenido: Teorema de Pitágoras. Conformación de las ternas originales fraccionarias.

INVESTIGACION TRANSCENDENTAL SOBRE TEORIA DE NUMEROS ELEMENTALES (Primera parte)

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Teorema de Pitágoras

Primera parte

El conocimiento del teorema de Pitágoras es milenario y no obstante que ha sido demostrado en muchas formas diferentes y de que aparentemente ya se conoce todo con respecto a este teorema, muchas propiedades sorprendentes de la ecuación Pitagórica han permanecido ocultas.

Damos gracias a Dios por concedernos la percepción de algunas de esas maravillas.

En esta lectura se propone un método para clasificar las ternas pitagóricas, este método constituye la verdadera y completa solución de la ecuación pitagórica y también les confiere a dichas ternas su estado normal en armonía con las leyes naturales.

Si (x,y,z,k) son enteros y (X,Y,Z) satisfacen x² + y² = z², z = (y + k), entonces existen infinitas ternas pitagóricas con diferente configuración, como se muestra a continuación:

[x, y, (y + 1)], [x, y, (y + 2)], [x, y, (y + 8)], [x, y, (y + K)]

Actualmente, bajo el criterio vigente, para asignar a una terna la categoría de primitiva, es suficiente que la terna satisfaga las siguientes dos condiciones:

x² + y² = (y + k)2, mcd[x, y, (y + k) = 1]

(X,Y,Z) satisfacen, entonces existen infinitas ternas Pitagóricas con diferente configuración, como mostramos enseguida:

La nueva solución está basada en el origen numérico de la ecuación y corrige la antigua y errónea clasificación para las llamadas "ternas pitagóricas primitivas", También unifica bajo un criterio generalizado las leyes que rigen sus diferentes parámetros de conformación.

Seguidamente mostramos varios conjuntos de ternas Pitagóricas con diferentes valores de (z - y) que además de las condiciones expuestas anteriormente también satisfacen que.

Para (z - y) = 1:

{3,4,5},{5,12,13},{7,24,25},{9,40,41},{11,60,61},{13,84,85},{15,112,113},{17,144,145},{19,180,181}

Para (z - y) = 2:

{8, 15, 17}, {12, 35, 37}, {16, 63, 65}, {20, 99, 101}, {24, 143, 145}

Para (z - y) = 8:

{20,21,29},{28,45,53},{36,77,85},{44,117,125},{52,165,173}

Para (z - y) = 9:

{33,56,65},{39,80,89},{51,140,149},{123,836,845}

Podemos apreciar que la secuencia de las diferencias, es decir, la diferencia entre las magnitudes correspondientes a la hipotenusa y el cateto mayor es: {1, 2, 8, 9, 18, 25,...,

A continuación determinaremos cual es el patrón general para la conformación de la ecuación:

Si x² + y² = z² entonces (z - y) puede ser un entero par o impar.

(z - y) es impar sí y solo sí (z - y) = {1, 9, 25, 49, 81, 121,..., es decir, el cuadrado de cualquier número impar.

(z - y) es par si y solo si (z - y) = {2, 8, 18, 32, 50, 72, 98,..., es decir, que partiendo de la diferencia entre cada dos de los números siguientes se incrementa sucesivamente en 4 unidades, enseguida se muestra la secuencia ascendente del incremento de la diferencia:

(2 + 4 = 6), (6 + 4 = 10), (10 + 4 = 14), (14 + 4 = 18), (18 + 4 = 22), (22 + 4 = 26)

La siguiente es la secuencia de conformación de:

(2 + 6 = 8), (8 + 10 = 18), (18 + 14 = 32), (32 + 18 = 50), (50 + 22 = 72), (72 + 26 = 98)

La solución ancestral para la ecuación x² + y² = z², (1.1)

El texto en negrilla fue traducido literalmente del libro "13 lectures on Fermat´s last theorem" por Paulo Ribenboim. AMS classification (1980): 10-03, 12-03, 12Axx

Sí (x,y,z) son enteros, diferentes de cero, que satisfacen (1.1)

Considerando los valores absolutos |x|, |y|, |z|, estos números son las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo

Para determinar todas las soluciones enteras no triviales de (1.1), basta determinar las llamadas ternas pitagóricas primitivas (x,y,z)

(x, y, z) > 0, mcd(x, y, z), x es par.

El siguiente teorema da una descripción completa de las denominadas ternas primitivas:

(1A) Si (u,v) son enteros diferentes de cero y de paridad diferente,

Si se cumple que: (x = 2.u.v), (y = u² - v²), (z = u² + v²). Entonces la terna (x,y,z) es denominada Pitagórica primitiva.

El siguiente texto, entre [ ], fue traducido del libro de Paulo Ribenboim "13 lectures on Fermat´s last theorem". AMS clasificación (1980): 10-03, 12-03, 12Axx.

[Las menores ternas primitivas ordenadas de acuerdo a incrementos en los valores de z, son las siguientes:

(4, 3, 5), (12, 5, 13), (8, 15, 17),

(24, 7, 25), (20, 21, 29), (12, 35, 37),

Fermat demostró el siguiente teorema: n > 0 es la suma de los cuadrados de dos números enteros Sí y solo si cada factor primo p de n, tales que p ≡ 3 (modulo 4), aparece como una potencia par en la descomposición de n en factores primos.

Para encontrar el número de representaciones de la suma de dos cuadrados. Si r(n) es el número de parejas de enteros (a, b) de manera que n = a² + b². Por ejemplo, r (1) = 4 y r (5) = 8. La determinación de r (n) en factores primos fue elaborada independientemente por Gauss y Jacobi:

r(n) = 4.[d1(n) - d3(n)], donde:

[d1(n) = #{d | 1 ≤ d, d |n, d ≡ 1 (modulo 4)}

d3(n) = #{d | 1 ≤ d, d |n, d ≡ 3 (modulo 4)} ]

La verdadera y completa solución

Demostraremos, que una terna Pitagórica es original, si y solo si satisface los parámetros que posteriormente serán definidos, tales parámetros determinan que las ternas originales se configuran exclusivamente en la forma: [X, Y, (Y + 1)], de manera que x² + Y² = (Y + 1)².

Denomino original a toda terna Pitagórica cuya configuración corresponde al modelo anterior.

A continuación muestro la forma en que represento las diferentes clases de ternas

(x,y,z) Primitivas, de acuerdo con el método tradicional

(X,Y,Z) Originales, enteras o fraccionarias.

(a,b,c) Primarias.

Bajo el criterio vigente x es par e y es impar, bajo el nuevo X es impar, mientras que Y es par.

Cuando n es una fracción, la llamo fracción generatriz y la represento como p/q.

Se considera, sin pérdida de generalidad, que el lado menor de cualquier triángulo rectángulo, es siempre adyacente al ángulo denominado α, lo cual implica que cos α es siempre menor que sen α ..

Los conjuntos involucrados en las demostraciones se simbolizan de la forma siguiente:

Ζ+= Enteros positivos.

Q = Fracciones racionales positivas.

Φ = Fracciones irracionales positivas.

Se restringe el nuevo criterio, sin pérdida de generalidad, al primer cuadrante, es decir a ángulos comprendidos entre cero y π /2, por lo tanto, a enteros positivos y fracciones positivas racionales o irracionales.

Teorema (1-B). Para cada n = {1,2,3,4,5,..., existen tres números enteros (X,Y,Z), de tal manera, que satisfacen las siguientes condiciones:

NUMEROS REALES

x² + Y² = Z² : E-4

X.(X + 1) = X + Y + Z: E-5

x² = Y + Z: E-6

x² = 2.Y + 1: E-7

Z = Y +1: E-8

 

x² ≡ 1 (modulo 2) (C-1)

x² ≡ 1 (modulo 4) (C-2)

Y ≡ 0 (modulo 4) (C-3)

Y² ≡ 0 (modulo 16) (C-4)

Z ≡ 1 (modulo 2) (C-5)

Z ≡ 1 (modulo 4) (C-6)

Z² ≡ 1 (modulo 8) (C-8)

Lema (1-B).-Sí x² + Y² = Z² y sí Z = (Y + 1) entonces (x² + Y²) es equivalente a un

binomio cuadrado perfecto, en la forma siguiente: x² + Y² = (Y + 1)² = (Y² + 2.Y + 1) = Z²

como (x² + Y² = Z²), siendo Z = (Y + 1), esto implica que (Y + 1)² = Z², reemplazando

Z² por (Y + 1)² en (x² + Y² = Z²) resulta que x² + Y² = (Y + 1)² = (Y² + 2.Y + 1).

El siguiente es un resumen del proceso empleado para encontrar la sucesión pertinente:

Las siguientes ternas (X,Y,Z), en las cuales Z = (Y + 1), satisfacen (x² + Y² = Z²)

{(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (13, 84, 85), (15 112, 113),.., (X,Y,Z)}

Los números resaltados: {4, 12, 24, 40, 60, 84, 112,.., ∞, son las magnitudes correspondientes al lado Y para todo triángulo cuyos lados [X, Y, (Y + 1)] satisfacen x² + Y² = (Y + 1)²

En la siguiente tabla, sin tomar en cuenta el factor (2²), el primer término de cada binomio, dentro del paréntesis subrayado en la columna a la izquierda, es igual a la suma de los dos términos contenidos dentro del paréntesis anterior, también subrayado, El segundo término del mismo binomio, es igual al segundo término del binomio precedente, incrementado en 1.

También, cada binomio sobre la misma primera columna, es equivalente a la adición de los enteros sucesivos expresados dentro del paréntesis inmediato a la derecha.

4 = 4 x 1 = 2².(0+1) = 2².(0+1)----------------n = 1 ⇒ Y = 2n.(n+1) = 2 x 1.(1 + 1)

12 = 4 x 3 = 2².(1+2) = 2².(1+2)----------------n = 2 ⇒ Y = 2n.(n+1) = 2 x 2.(2 + 1)

24 = 4 x 6 = 2².(3+3) = 2².(1+2+3)-------------n = 3 ⇒ Y = 2n.(n+1) = 2 x 3.(3 + 1)

40 = 4 x 10 = 2².(6+4) = 2².(1+2+3+4)----------n = 4 ⇒ Y = 2n.(n+1) = 2 x 4.(4 + 1)

Por lo tanto, para cada n = {1,2,3,4,5,..., -existe una terna [X, Y, (Y + 1)], de tal forma, que satisface x² + Y² = (Y + 1)² en la cual Y es equivalente a (2²) multiplicado por la suma de los enteros consecutivos contenidos entre 1 y n.

Es conocido que la suma de una sucesión de enteros positivos entre 1 y n, es equivalente a la mitad del producto de n por su sucesor, como se muestra a continuación:

{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + n} = NUMEROS REALES

Ejemplo:

NUMEROS REALES

Lema (2-B). Por lo tanto,NUMEROS REALES

Sí X es un número impar mayor que 1 que corresponde a la forma X = (2.n + 1), aplicando entonces para hallar Z un proceso similar al usado para encontrar Y, resulta:

NUMEROS REALES

Para todo n = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,..., se cumple que

NUMEROS REALES

De igual manera, las anteriores expresiones satisfacen (E-4), (E-5), (E-6), (E-7), (E-8), como sigue:

X² = (2.n + 1)² = 4.n² + 4.n + 1

Y² = [2.n.(n + 1)]² = 4.n4 + 8.n³ + 4.n²

Z² = [2.n.(n + 1) + 1]² = 4.n4 + 8.n³ + 8.n² + 4.n + 1

(X² + Y²) = (2.n + 1)² + [2.n.(n + 1)]²

(X² + Y²) = 4.n² + 4.n + 1 + 4.n4 + 8.n³ + 4.n²

(X² + Y²) = 4.n4 + 8.n³ + 8.n² + 4.n + 1 = Z² (E - 4)

X + Y + Z = 2.n + 1 + 2.n.(n + 1) + 2.n.(n + 1) + 1

X + Y + Z = 2.n + 1 + 2.n² + 2.n + 2.n² + 2.n + 1

X + Y + Z = 4.n² + 6.n + 2

X + Y + Z = (2.n + 1).(2.n + 2) = X.(X + 1) (E - 5)

Y + Z = 2.n.(n + 1) + 2.n.(n + 1) + 1

Y + Z = 2.n² + 2.n + 2.n² + 2.n + 1

Y + Z = 4.n² + 4.n + 1

Y + Z = (2.n + 1)² = X² (E - 6)

2.Y + 1 = 2.[2.n.(n + 1)] + 1

2.Y + 1 = 2.(2.n² + 2.n) + 1

2.Y + 1 = 4.n² + 4.n + 1

2.Y + 1 = (2.n + 1)² = X² (E - 7)

Z = 2.n.(n + 1) + 1 = Y + 1 (E - 8)

Observaciones:

Para que una terna de números enteros, (X,Y,Z) sea original, los tres términos tienen que ser una función de la sumatoria: NUMEROS REALES.

Para que cualquier impar (X = 2.n + 1), sea primo, necesariamente (2.n)! ≡ 1 modulo (2.n + 1)

Representaré la función correspondiente a la sumatoria de fracciones así:
ƒ(p/q) = NUMEROS REALES

Teorema (1-D). Para cada fracción (p/q), racional o irracional, mcd(p, q) = 1, existen tres fracciones racionales o irracionales, (X = h/e), (Y = t/d), (Z = s/d) mcd(h, t, s, e) = 1, de tal forma, que satisfacen las siguientes condiciones:

NUMEROS REALES

NUMEROS REALES

Lema (1-D). Conformación de las ternas originales fraccionarias

Las ternas:(a,b,c) = (45, 28, 53), (55, 48, 73), (95, 168, 193), satisfacen (a² + b² = c²)

Dividiendo los tres términos de cada una de estas ternas por (c - b) = 25, que es común para las tres, obtenemos respectivamente las siguientes ternas formadas por tres fracciones a las cuales representaremos en forma general como (X,Y,Z), y que satisfacen

(x² + Y² = Z²), (9/5, 28/25, 53/25), (11/5, 48/25, 73/25), (19/5, 168/25, 193/25)

Los valores correspondientes a Y, para cada una de estas ternas son: 28/25, 48/25, 168/25

A continuación determinaré el patrón que rige su conformación.

Emplearé indistintamente ƒn y ƒ(p/q) para representar la función NUMEROS REALES,

NUMEROS REALES

NUMEROS REALES

están conformadas de acuerdo a un mismo patrón, así:

ƒ1, ƒ2, ƒ3 = NUMEROS REALES

Como ƒ(p/q) = NUMEROS REALES e NUMEROS REALES.

Si q es impar y como mcd(p, q) = 1, esto implica que:

NUMEROS REALES

Representando por λ y η, respectivamente, los numeradores del primero (q + 1)/2 y del último término (2.p + q - 1)/2 de la sumatoria, esta se reduce a la forma siguiente:

NUMEROS REALES = ƒ(p/q) = NUMEROS REALES

Como λ = (q + 1)/2, entonces Sí q es impar, (q + 1) es par, de manera que, 2 aparece como factor en la descomposición de (q + 1) en factores primos, por lo tanto (q + 1) es divisible por 2. Esto implica que tanto λ como los demás numeradores de los términos de la sumatoria se reducen a enteros.

Sí q es par implica que (q + 1) es impar y por lo tanto no divisible por 2, entonces λ y los demás numeradores de los diferentes términos de la sumatoria son fracciones irreducibles a enteros

p/q = 2/3 ⇒ NUMEROS REALES = NUMEROS REALES

p/q = 3/4 ⇒ NUMEROS REALES = NUMEROS REALES

p/q = 4/5 ⇒ NUMEROS REALES = NUMEROS REALES

p/q = 5/6 ⇒ NUMEROS REALES = NUMEROS REALES

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Dirección: rubenmore@hotmail.com

Cartagena de Indias. Colombia.

Ingeniero Industrial egresado de la Universidad Tecnológica de Bolivar.

Experto en procesos industriales de polimerización.

Bibliografía:

"13 lectures on Fermat´s last theorem", Paulo Ribemboim.

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