Investigación transcendental sobre teoría de números elementales (tercera parte)
Las siguientes son las propiedades de la sumatoria:
| f(p/q) = | η/q² | |
| ∑ i | ||
| i = λ/q² |
Común denominador = q²
Numerador del primer término λ = (q + 1)/2
Numerador del último término η = (2·p + q - 1)/2
Numero de términos = p
En el ejemplo siguiente el denominador q, de la fracción generatriz, es par.
p/q = ⅚
| Y = 2²·f¾ = 2²· | 3·(3 + 4) |
| 2·4² |
| f¾ = | 3·7 | = | 3·(3 + 4) | = | 21 |
| 2·4² | 2·4² | 32 |
λ = (q + 1)/2 = (4 + 1)/2 = 5/2
η = (2·p + q - 1)/2 = (2·3 + 4 - 1)·(2·3 + 4 - 1)/2 = 9/2
p/q = ¾
| f¾ = | 5/2 | + | 7/2 | + | 9/2 | = | 21 |
| 16 | 16 | 16 | 32 |
Por lo tanto:
| X = √2³·f(p/q) + 1 = | 2·p | + 1 = | 2·3 | + 1 = | 5 |
| q | 4 | 2 |
| Y = 2²·f(p/q) = | 2·p | ·( | p | + 1) = | 2·3 | ·( | 3 | + 1) |
| q | q | 4 | 4 |
| Y = | 3 | ·( | 3 | + 1) = | 21 |
| 2 | 4 | 8 |
| Z = 2²·f(p/q) + 1 = | 2·p | ·( | p | + 1) + 1 |
| q | q |
| Z = | 2·3 | ·( | 3 | + 1) + 1 = | 3 | ·( | 3 | + 1) 1 = | 21 | + 1 = | 29 |
| 4 | 4 | 2 | 4 | 8 | 8 |
Para la conformación de las ternas pitagóricas fraccionarias irracionales rigen los mismos parámetros que para la de las fraccionarias racionales:
Los siguientes son los tres casos posibles:
1) p es racional y q irracional
2) p es irracional y q racional
3) p y q son irracionales.
Para determinar el desarrollo de la sumatoria correspondiente al primer caso, cuando p es racional y q irracional, basta aplicar el método empleado cuando p y q son enteros, es decir p/q es racional.
Por ejemplo:
| p | = | 3 | ⇒ λ = | q + 1 | = | √5 + 1 |
| q | √5 | 2 | 2 |
y
| η = | 2·p + q - 1 | = | 5 + √5 |
| 2 | 2 |
El número de términos de la sumatoria es Nt = p = 3
| f(3/√5) = | λ | + | λ + 1 | + | λ + 2 | = |
| q² | q² | q² |
| = | (√5 + 1) + (√5 + 3) + (√5 + 5) | = | 9 + 3·√5 |
| 2·5 | 2·5 |
| Y = | p | ·( | p | + 1) |
| 2·q | q |
| Y = | 2·3 | ·( | 3 | + 1) = | 2·3 | ·( | 3 + √5 | ) = | 2·(9 + √5) |
| √5 | √5 | √5 | √5 | 5 |
Dado que:
| Y = 2²·f(3/√5) = | 2·(9 + √5) | ⇒ f(3/√5) = | 9 + √5 |
| 5 | 2·5 |
| ∀ (p/q),p ∈ Φ: | p | ·( | p | + 1) = { | n/q² ∑ i = λ/q² | i} ⇒ Y = 2²·{ | n/q² ∑ i = λ/q² | i} = | 2·p | ·( | q | + 1) |
| 2·q | q | q | q |
Para determinar el número de términos, que obviamente tiene que ser entero, si p es irracional y q racional, es necesario racionalizar p, de esta manera el caso se reduce al anterior.
Por ejemplo: p/q = √5/7, racionalizando p, resulta que p/q = √5/7 = √5·√5/7·√5 = 5/(7·√5)
| p | = | √5 | = | 5 | ⇒ λ = | q + 1 | = | 7·√5 + 1 |
| q | 7 | 7·√5 | 2 | 2 |
| η = | 2·p + q - 1 | = | 2·5 + 7·√5 - 1 | = | 7·√5 + 9 |
| 2 | 2 | 2 |
| λ + 1 = | 7·√5 + 1 | + 1 = | 7·√5 + 3 |
| 2 | 2 |
| λ + 2 = | 7·√5 + 3 | + 1 = | 7·√5 + 5 |
| 2 | 2 |
| λ + 3 = | 7·√5 + 5 | + 1 = | 7·√5 + 7 |
| 2 | 2 |
| λ + 4 = | 7·√5 + 7 | + 1 = | 7·√5 + 9 |
| 2 | 2 |
Nt = p = 5, entonces
| f(5/7·√5) = | λ | + | λ + 1 | + | λ + 2 | + | λ + 3 | + | λ + 4 |
| q² | q² | q² | q² | q² |
| f(5/7·√5) = | (7·√5 + 1) + (7·√5 + 3) + (7·√5 + 5) + (7·√5 + 7) + (7·√5 + 9) |
| 2·7²·5 |
| f(5/7·√5) = | 5 + 7·√5 |
| 2·7² |
Despejando Y, a partir de la fracción inicial √5/7, sin racionalizar √5:
| Y = | p | ·( | p | + 1) |
| 2·q | q |
| Y = | 2·√5 | ·( | √5 | + 1) |
| 7 | 7 |
| Y = | 2·√5 | · | √5 + 7 | = | 2·(√5 + 7) |
| 7 | 7 | 7² |
Dado que Y = 2²·f(√5/7), entonces
| Y = | 5 + 7·√5 | ⇒ f(√5/7) = | 5 + 7·√5 |
| 7² | 2·7² |
Por lo tanto,
| ∀ (p/q),p ∈ Φ: | p | ·( | p | + 1) = { | n/q² ∑ i = λ/q² | i} ⇒ Y = 2²·{ | n/q² ∑ i = λ/q² | i} = | 2·p | ·( | q | + 1) |
| 2·q | q | q | q |
Email: rubenmore@hotmail.com
Cartagena de Indias. Colombia.
Ingeniero Industrial egresado de la Universidad Tecnológica de Bolivar.
Experto en procesos industriales de polimerización.
Bibliografía:
"13 lectures on Fermat's last theorem", Paulo Ribemboim.
Autor: Rubén Moré Argel. Ingeniero Industrial. Colombia.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)