Estudio de las progresiones (segunda parte)

Ejemplos de cálculo del término general de una progresión geométrica

Ejemplo n° 1

Calcular el término general de la progresión ⅓, 1, 3, 9, …

Solución

Se trata de una progresión geométrica de razón r = 3 y primer término

a₁ = ⅓

El término general es, por tanto:

a_n = ⅓·3^{n - 1}

a_n = 3^{n - 2}

Ejemplo n° 2

¿Cuál es el término general de la progresión -1, 2, -4, 8, -16, … ?

Solución

Es una progresión geométrica en la que el primer término a₁ vale -1, y la razón es:

2/(-1) = -4/2 = 8/(-4) = -16/8 = -2

Su término general es, pues:

a_n = -1·(-2)^{n - 1}

Este tipo de progresiones geométricas recibe el nombre de progresión geométrica alternada.

Nótese la similitud que hasta el momento se da entre las progresiones aritméticas y las geométricas. Se seguirán comprobando todas las propiedades, sin más que cambiar sumas por productos.

Términos equidistantes de una progresión geométrica

La analogía observada hasta ahora conduce a la pregunta de si, elegidas cualesquiera dos parejas de términos cuyas sumas de subíndices coincidan, también coincidirán los productos de sus términos correspondientes.

Dicho en lenguaje matemático, cabe preguntarse si será cierto que del hecho de ser t + s = u + v, se desprende la igualdad a_t·a_s = a_u·a_v

La respuesta es afirmativa, y este resultado se conoce con el nombre de propiedad de los términos equidistantes de una progresión geométrica.

Propiedad: Si en una progresión geométrica t + s = u + v, entonces a_t·a_s = a_u·a_v

• Demostración:

a_t = a₁·r^{t - 1} a_s = a₁·r^{s - 1}		a_u = a₁·r^{u - 1} a_v = a₁·r^{v - 1}
a_r·a_s = a₁²·r^{t + s - 2}		a_u·a_v = a₁²·r^{u + v - 2}

Al ser t + s = u + v, estas dos expresiones coinciden.

Ejemplo de cálculo de términos de una progresión geométrica

Ejemplo n° 1

Encontrar el término a₁ de una progresión geométrica de la que se sabe que:

a₃ = 9; a₉ = 1/81 y a₁₁ = 1/729

Solución

Puesto que 3 + 9 = 1 + 11 = 12,

a₃·a₉ = a₁·a₁₁

9·1/81 = a₁·1/729

⅑ = a₁·1/729 ⇒ a₁ = 9/729

a₁ = 81

Interpolación de medios geométricos

Interpolar n medios geométricos entre otros dos conocidos a y b, consiste en construir una progresión geométrica a, a₁, a₂, …, a_n, b.

Para resolver este problema basta con conocer la razón que ha de tener la progresión, la cual se deduce sin más que tener en cuenta dos cosas:

1) La sucesión tiene n + 2 términos

2) El primer término es a y el n + 2 es b

Aplicando la fórmula del término general de una progresión geométrica se tiene que:

b = a·r^{n + 2 - 1}, de donde

Una vez conocido el valor de la razón, a₁ se obtiene como el producto de r por a; a₂ es el producto de a₁ por r, y así sucesivamente.

Ejemplos de interpolación de medios geométricos

Ejemplo n° 1

Interpolar cuatro medios geométricos entre 128 y 4.

Solución

La progresión es 128, a₁, a₂, a₃, a₄, 4.

Aplicando la fórmula obtenida con a = 128 y b = 4:

a₁ = 128·½ = 64

a₂ = 64·½ = 32

a₃ = 32·½ = 16

a₄ = 16·½ = 8

La progresión geométrica que se buscaba es:

128, 64, 32, 16, 8, 4, …

Ejemplo n° 2

Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.

Solución

Aplicando la fórmula:

r = ∜48/3 = ∜16 = ∜2⁴ = ±2

Recuérdese que una raíz de índice par tiene dos soluciones, una positiva y una negativa. Así pues, en este caso, hay dos posibilidades.

Si r = 2, la progresión es 3, 6, 12, 24, 48, …

Si r = -2, la progresión es: 3, -6, 12, -24, 48, …

Producto de términos consecutivos de una progresión geométrica

Continuando con la analogía observada, se encuentra la fórmula del producto de términos de una progresión geométrica.

Se denotará por P_n al producto a₁·a₂ … a_n

Se tiene entonces:

P_n = a₁·a₂·a₃ … a_{n - 2}·a_{n - 1}·a_n

Invirtiendo el orden P_n = a_n·a_{n - 1}·a_{n - 2} … a₃·a₂·a₁

______________________________

Multiplicando P_n² = (a₁·a_n)·(a₂·a_{n - 1}) … (a_{n - 1}·a₂)·(a_n·a₁)

Ahora bien, por la propiedad de los términos equidistantes se sabe que:

a₁·a_n = a₂·a_{n - 1} = a₃·a_{n - 2} = … = a_n·a₁

Por tanto P_n² = (a₁·a_n)ⁿ y despejando:

P_n = ±√(a₁·a_n)ⁿ

Para determinar el signo, ha de estudiarse cada caso concreto.

Esta fórmula no sólo sirve para multiplicar los primeros términos de una progresión geométrica, sino que también es válida para multiplicar cualesquiera n términos consecutivos, al igual que se hace en las progresiones aritméticas.

Ejemplos de cálculo del producto de términos consecutivos de una progresión geométrica

Ejemplo n° 1

Multiplicar los veinte primeros términos de la progresión 1/16, ⅛, ¼, ½, …

Solución

Es una progresión geométrica de razón r = 2

a₂₀ = a₁·r¹⁹ =	1	·2¹⁹ =	2¹⁹	= 2¹⁵
	16		2⁴

p₂₀ = √(a₁·a₂₀)²⁰ = (	1	·2¹⁵)^20/2 = (2¹¹)¹⁰ = 2¹¹⁰
	2⁴

Para poder escribir dicho número serían necesarias 34 cifras, lo que da idea de la gran velocidad de crecimiento que tienen las progresiones geométricas.

Ejemplo n° 2

Calcular el producto de los siete primeros términos de la progresión

1, -2, 4, -8, …

Solución

Es una progresión geométrica de razón r = -2

a_n = 1·(-2)^{n - 1}; a₇ = 1·(-2)⁶ = 64

p₇ = ±√(1·64)⁷ = ±√2⁴² = ±2²¹

Para determinar el signo, obsérvese que hay tres términos negativos y al ser este número impar, el producto de todos ellos es negativo.

Así pues, P₇ = -2²¹

Suma de varios términos consecutivos de una progresión geométrica

Se denotará por S_n a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica:

S_n = a₁ + a₂ + … + a_{n - 1} + a_n

Para obtener una fórmula que permita hacer este cálculo de un modo rápido, se multiplican ambos miembros de la igualdad por la razón:

S_n·r = (a₁ + a₂ + … + a_{n - 1} + a_n). r

S_n·r = a₁·r + a₂·r + … + a_{n - 1}·r + a_n·r,

y teniendo en cuenta que al multiplicar un término por la razón se obtiene el término siguiente,

S_n·r = a₂ + a₃ + … + a_n + a_n·r

Restando ahora a esta igualdad la primera:

S_n·r = a₂ + a₃ + … + a_n + a_n·r

S_n = a₁ + a₂ + … + a_{n - 1} + a_n

S_n·r - S_n = -a₁ + a_n·r

S_n·(r - 1) = a_n·r - a₁

Despejando S_n

S_n = a_n·	r - a₁
	r - 1

Esta fórmula que da la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica tiene otra versión igualmente útil si se expresa el término general a_n como a₁·r^{n - 1}:

S =	a₁·r^{1 - 1}·r - a₁	=	a₁·r - a₁	=	a₁·(r - 1)
	r - 1		r - 1		r - 1

S_n = a₁·	rⁿ - 1
	r - 1

Ejemplos de suma de términos de una progresión geométrica

Ejemplo n° 1

Sumar los quince primeros de la progresión geométrica 3/2, 9/2, 27/2 …

Solución

Utilizando la segunda fórmula, basta calcular la razón:

r =	9	÷	3	= 3
	2		2

S₁₅ =	3	·	3¹⁵ - 1	= ¿·(3¹⁵ - 1)
	2		3 - 1

Ejemplo n° 2

Sabiendo que 3 es el primer término de una progresión geométrica y 1.875 el quinto, calcular la suma de esos cinco términos.

Solución

a₅ = 1.875 = 3·5⁴ = a₁·r⁴ ⇒ r⁴ = 5⁴ ⇒ r = ± 5

Si r = 5,

S₅ = 3·	5⁵ - 1	= 3·	3.124	= 2.343
	5 - 1		4

Si r = -5,

S₅ = 3·	(-5)⁵ - 1	= 3·	-3.126	= 1.563
	(-5) - 1		-6

Sumar los términos comprendidos entre el tercero y el vigésimo lugar de la progresión geométrica 8, 4, 2, 1, ½, …

Solución

a₃ = 2

r = ½

a₂₀ = a₃·r¹⁷ = 2·(½)¹⁷ = (½)¹⁶

S =	a₂₀·r - a₃	=	(½)¹⁶·½ - 2
	r - 1		½ - 1

S =	(½)¹⁷ - 2	= 4 - (½)¹⁶
	-½

Suma de todos los términos de una progresión geométrica ilimitada decreciente

Una progresión geométrica es decreciente (cada término es menor que el anterior), cuando su razón está comprendida entre cero y uno. La progresión 8, 4, 2, 1, ½, … es una progresión decreciente de razón ½.

La relevancia de este apartado es que se trata de sumar todos los términos de la progresión y no una parte de ellos. Obsérvese que en el caso de una progresión creciente (cada término mayor que el anterior), la suma de todos los términos de la misma será infinito, independientemente del valor de los términos. No ocurre así para el caso de progresiones decrecientes.

Partiendo de la fórmula:

S = a₁·	rⁿ - 1
	r - 1

Donde r es un número comprendido entre cero y uno y n el número de términos de la progresión (infinito), la potencia rⁿ es una cantidad tan pequeña (tiende a cero), que se puede despreciar. Recuérdese que el resultado de una potencia cuya base está comprendida entre cero y uno va disminuyendo a medida que aumenta el exponente.

Se tiene entonces:

S = a₁·(0 - 1)/(r - 1)

S = -a₁/(r - 1)

O bien

S = a₁/(r - 1)

Progresiones geométricas (II)

Cómo se suman los términos de una progresión geométrica de razón -1 < r < 1

Si r es un número mayor que -1 y menor que 1, rⁿ se aproxima tanto más a cero cuanto más grande sea n; matemáticamente esto se expresa diciendo que rⁿ tiende a cero.

Obsérvese cómo, por ejemplo, ½² = ¼ = 0,25

½³ = ⅛ = 0,125

½⁴ = 1/16 = 0,0625

………………………………………

½²⁰ = 1/1.048.576 = 0,0000009

Y de igual modo (-½)² = ¼ = 0,25

(-½)³ = ⅛ = -0,125

(-½)⁴ = 1/16 = 0,0625

…………………………………………

(-½)²⁰ = 1/1.048.576 = 0,0000009

Ejemplos de suma de infinitos términos de una progresión geométrica (|r| < 1)

Ejemplo n° 1

Calcular la suma de todos los términos de la progresión: 0,3; 0,15; 0,075; …

Solución

Se trata de una progresión geométrica decreciente cuyo primer término es 0,3 y razón 0,15/0,3 = 0,5

S = a₁/(1 - r) = 0,3/(1- 0,5) = 0,3/0,5 = 0,6

Ejemplo n° 2

Sumar todos los términos de la progresión geométrica -7, 7/3, -7/9, 7/27 …

Solución

r =	7/3	= -⅓
	-7

S =	-7	=	-7	= -21/4
	1 - (-⅓)		(4/3)

Ejemplo n° 3

En un triángulo equilátero de 6 metros de lado, se unen los puntos medios de sus lados, obteniéndose así otro triángulo inscrito en el primero. Este proceso se repite indefinidamente. Calcular la suma de las áreas de todos los triángulos formados.

Solución

Se trata aquí de sumar todos los términos de una progresión geométrica ilimitada cuya razón es menor que uno, puesto que las áreas de los triángulos que se van formando son cada vez menores.

El primer término de la progresión será el área del primer triángulo:

a₁ = ½·b·h, siendo:

h = √6² - 3² = √27 = 5,196 ⇒ a₁ = 15,588

La razón es ¼, puesto que el área del segundo triángulo es ¼ del área del primero.

a₂ = ½·3·(h/2) = a₁/4

Aplicando la fórmula de la suma:

S =	a₁	=	15,588	= 20,784
	1 - r		1 - ¼

Ejemplo n° 4

Dado un círculo de radio r, se construye un segundo círculo cuyo diámetro sea el radio del anterior, un tercero cuyo diámetro sea el radio del segundo y así sucesivamente. ¿Cuál será la suma de las áreas de todos los círculos así formados?

Solución

Como en el caso anterior, se trata de sumar todos los términos de la progresión geométrica que forman las áreas de los círculos.

a₁ = π·r²; a₂ = π·(r/2)² = π·r²/4; a₃ = π·r²/16; …

Se observa que se trata de una progresión geométrica decreciente de razón ¼, siendo, por lo tanto, su suma:

S =	π·r²	=	4·π·r²
	1 - ¼		3

Entre las progresiones aritméticas y las geométricas se pueden apreciar notables diferencias. Estas últimas «crecen» mucho más deprisa (si la razón es mayor que la unidad) que las progresiones aritméticas; o «decrecen» de manera tan vertiginosa que incluso es posible sumar una cantidad infinita de números y obtener un resultado tan inesperado como sorprendentemente pequeño, cuando la razón, en valor absoluto, es menor que la unidad, como ya se ha visto.

Ejemplos curiosos de progresiones aritméticas y las geométricas

Sirva como ilustración de cuanto se acaba de decir, la siguiente situación:

Ejemplo n° 1

Piénsese en dos personas (de economías solventes) que acuerdan que uno dará al otro dos millones de pesetas el primer día de mes; cuatro millones al día siguiente; seis el tercero, y así, sumando dos millones diarios hasta completar el mes. Simultáneamente, el segundo dará al primero una peseta el primer día; dos pesetas, el segundo; cuatro, el tercero, y así sucesivamente, duplicando la cantidad del día anterior, hasta cumplir el plazo asignado de treinta días. ¿Quién obtendrá mayores beneficios?

Solución

El primero, la última jornada desembolsa.

a₃₀ = 2 + (30 - 1)·2 = 60; 60 millones

En todo el mes tiene un gasto de S₃₀ = (2 + 60)·30/2 = 930; 930 millones.

Por su parte, el otro amigo aporta (1 + 2 + 4 + … + 2²⁹) pesetas. Sin más que hacer uso de la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica, se tiene que la cantidad es:

(2³⁰ - 1)/(2 - 1) pesetas, es decir, ¡1.073.741.823 pesetas!

De otro lado, los números a que dan lugar las progresiones geométricas serían sencillamente increíbles (de hecho, son increíbles para muchas personas) a poco que se dudase de la exactitud de las matemáticas.

Ejemplo n° 2

Piénsese en un folio de 1/20 mm de espesor; es decir, veinte folios bien prensados tendrían un grosor de 1 mm. Si se dobla el papel por su mitad; se vuelve a doblar otra vez por la mitad, y se continúa este proceso hasta repetirlo 50 veces, ¿qué grosor tendría el trozo de papel resultante?

Solución

Es claro que en la quincuagésima operación de plegado, se tendría un grosor de:

2⁵⁰ veces el espesor inicial, es decir,

2⁵⁰/20 mm; o también,

2⁵⁰/200 cm; o bien,

2⁵⁰/20.000 m; o mejor aún,

2⁵⁰/2.000.000 km

Haciendo las oportunas operaciones; resulta que el grosor del tan citado papel es de:

¡¡56.295.500 km!

Compárese este dato con la distancia media de la Tierra a la Luna, que es de:

385.000 km

Autor: Sin datos

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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