Tipos de matrices

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física.

Matrices

Una matriz es una tabla ordenada de escalares a_x de la forma.

La matriz anterior se denota también por (a_x), i = 1, …, m, j = 1, …, n, o simplemente por (a_x).

Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m×n.

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, …, y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, …

Ejemplo de notación de matrices

La siguiente matriz es una matriz de 2×3:

Donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus columnas

Clases de matrices

Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:

Matrices cuadradas

Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n×n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.

Ejemplo: Sean las matrices

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

Matriz identidad

Sea A = (a_x) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a₁₁, a₂₂, …, a_nn. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.

La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,

A·I = I·A = A.

Matrices triangulares

Una matriz cuadrada A = (a_ij) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices:

Son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.

Matrices diagonales

Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diagonal (d₁₁, d₂₂, …, d_nn). Por ejemplo:

Son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diagonal (3, -1, 7) diagonal (4, -3) y diagonal (2, 6, 0, -1).

Traspuesta de una matriz

La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por A^T. Así, la traspuesta de

Es

En otras palabras, si A = (a_ij) es una matriz m×n, entonces A^T = (a^T_ij) es la matriz n x' m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:

1) (A + B)^T = A^T + B^T

2) (A^T)^T = A

3) (k·A)^T = k·A^T (si k es un escalar)

4) (AB)^T = B^T A^T

Matrices simétricas

Se dice que una matriz real es simétrica, si A^T = A; y que es antisimétrica, si A^T = -A.

Ejemplo:

Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que A^T = A. Siendo así, A es simétrica. Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.

Matrices ortogonales

Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AA^T = A^T A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A^-1 = A^T. Consideremos una matriz 3×3 arbitraria:

Si A es ortogonal, entonces:

Matrices normales

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AA^T = A^T A. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.

Ejemplo:

Puesto que AA^T = A^T A, la matriz es normal.

Autor: Jesús. España.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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