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Tipos de matrices. AP04

Contenido: Matrices cuadradas. Matriz identidad. Matrices triangulares y diagonales. Traspuesta de una matriz. Matrices simétricas y ortogonales.

Matriz

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física.

Matrices

Una matriz es una tabla ordenada de escalares a× de la forma

 

a11

a12

...

a1n

 

a21

a22

...

a2n

...

...

...

...

am1

am2

...

amn

La matriz anterior se denota también por (a×), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (a×).

Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m × n.

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...

Ejemplo:

La siguiente matriz es una matriz de 2 x 3:

 

1

-3

4

 

0

5

-2

 

donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus columnas

 

1

 

,

 

-3

 

y

 

4

 

0

5

-2

Clases de matrices

Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:

Matrices cuadradas

Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n × n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.

Ejemplo: Sean las matrices

A =

 

1

2

-3

 

4

0

5

3

-1

2

 

B =

2

-3

 

-1

5

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

Matriz identidad

Sea A = (a×) una matriz n-cuadrada. la diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.

La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,

A· I = I · A = A.

Matrices triangulares

Una matriz cuadrada A = (ai j) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices

son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.

Matrices diagonales

Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diagonal (d11, d22, ..., dnn). Por ejemplo,

son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diagonal(3,-1,7) diagonal(4,-3) y diagonal(2,6,0,-1).

Traspuesta de una matriz

La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT. Así, la traspuesta de

A =

 

3

-1

4

 

2

5

-7

4

0

9

es

AT =

 

3

2

4

 

-1

5

0

4

-7

9

En otras palabras, si A = (ai j) es una matriz m x n, entonces AT = (aTij) es la matriz n x´ m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:

1. (A + B)T = AT + BT.

2. (AT)T = A.

3. (kA)T = kAT (si k es un escalar).

4. (AB)T = BT AT.

Matrices simétricas

Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica, si AT = - A.

Ejemplo:

Consideremos las siguientes matrices:

A =

 

2

-3

5

 

-3

6

7

5

7

-8

 

B =

 

0

3

-4

 

-3

0

5

4

-5

0

 

C =

 

1

0

0

 

0

1

0

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica. Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.

Matrices ortogonales

Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AA T = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT. Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria:

A =

 

a1

a2

a3

 

b1

b2

b3

c1

c2

c3

Si A es ortogonal, entonces:

A.AT =

 

a1

a2

a3

 

.

 

a1

b1

c1

 

=

 

1

0

0

 

= I

b1

b2

b3

a2

b2

c2

0

1

0

c1

c2

c3

a3

b3

c3

0

0

1

Matrices normales

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AA T = AT A. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.

Ejemplo:

Sea

6

-3

 

, entonces:

3

6

 

A.AT =

6

-3

 

.

6

3

.

=

45

0

 

3

6

-3

6

0

45

 

AT.A =

6

3

 

.

6

-3

.

=

45

0

 

-3

6

3

6

0

45

Puesto que AA T = A T A, la matriz es normal.

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