Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
La matriz ampliada M de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es la siguiente:
| M = | a11 | a12 | … | a1n | ⋮ | b1 | ||
| a21 | a22 | … | a2·n | ⋮ | b2 | |||
| … | … | … | … | ⋮ | … | |||
| am1 | am2 | … | amn | ⋮ | bm |
Cada fila de M corresponde a una ecuación del sistema y cada columna a los coeficientes de una incógnita, excepto la última, que corresponde a las constantes del sistema. Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada, específicamente, reduciéndola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss.
Método de Gauss
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se aplica el método de Gauss. Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo: Sea el sistema,
x + 2·y + z = 3
2·x + 5·y - z = -4
3·x - 2·y - z = 2
Su matriz ampliada asociada es:
| x | y | z | ||||
| 1 | 2 | 1 | ⋮ | 3 | ||
| 2 | 5 | -1 | ⋮ | -4 | ||
| 3 | -2 | -1 | ⋮ | 2 |
Ahora resolvemos por el método de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a los coeficientes de la x, la segunda a los de la y, la tercera a los de la z y la cuarta a los términos independientes:
| x | y | z | ~ | x | y | z | ~ | ||||||||
| 1 | 2 | 1 | ⋮ | 3 | 1 | 2 | 1 | ⋮ | 3 | ||||||
| 2 | 5 | -1 | ⋮ | -4 | 0 | 1 | -3 | ⋮ | -10 | ||||||
| 3 | -2 | -1 | ⋮ | 2 | 0 | -8 | -4 | ⋮ | -4 |
| ~ | x | y | z | ~ | x | y | z | ~ | ||||||||
| 1 | 2 | 1 | ⋮ | 3 | 1 | 2 | 1 | ⋮ | 3 | |||||||
| 0 | 1 | -3 | ⋮ | -10 | 0 | 1 | -3 | ⋮ | -10 | |||||||
| 0 | 0 | -28 | ⋮ | -84 | 0 | 0 | 1 | ⋮ | 3 |
| ~ | x | y | z | ~ | x | y | z | ||||||||
| 1 | 2 | 0 | ⋮ | 0 | 1 | 0 | 0 | ⋮ | 2 | ||||||
| 0 | 1 | 0 | ⋮ | -1 | 0 | 1 | 0 | ⋮ | -1 | ||||||
| 0 | 0 | 1 | ⋮ | 3 | 0 | 0 | 1 | ⋮ | 3 |
De este modo, el sistema tiene la solución única.
x = 2, y = -1, z = 3.
La resolución de sistemas de ecuaciones lineales por matrices, aplicando el método de Gauss u otros, es una de las múltiples aplicaciones que tienen éstas.
Ejemplo de resolución de sistemas de ecuaciones lineales por matrices
Ejemplo n° 1
Hallar el valor de x, y, z, t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando matrices:
a)
x + y - 2·z + 4·t = 5
2·x + 2·y -3·z + t = 3
3·x + 3·y - 4·z - 2·t = 1
b)
x + y - 2·z + 3·t = 4
2·x + 3·y -3·z + t = 3
5·x + 7·y + 4·z + t = 5
a)
La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:
| M = | x | y | z | t | ||||
| 1 | 1 | -2 | 4 | ⋮ | 5 | |||
| 2 | 2 | -3 | 1 | ⋮ | 3 | |||
| 3 | 3 | -4 | -2 | ⋮ | 1 |
| ~ | x | y | z | t | ||||
| 1 | 1 | -2 | 4 | ⋮ | 5 | |||
| 0 | 0 | 1 | -7 | ⋮ | -7 | |||
| 0 | 0 | 2 | -14 | ⋮ | -14 |
La tercera fila se suprime, puesto que es múltiplo de la segunda y resultaría una fila nula. Así, el sistema queda formado por dos ecuaciones con cuatro incógnitas:
| ~ | x | y | z | t | ||||
| 1 | 1 | -2 | 4 | ⋮ | 5 | |||
| 0 | 0 | 1 | -7 | ⋮ | -7 | |||
| 0 | 0 | 2 | -14 | ⋮ | -14 |
La solución del sistema es compatible e indeterminado, esto es, tiene infinitas soluciones.
x = -9 - y + 10·t
z = 7·t - 7 ó (- 9 - y + 10·t, y, 7·t - 7, t).
Dependiendo de qué valores se escojan para y y t, salen distintos resultados. Así, para y = t = 0 tendremos la solución del sistema.
x = -9, y = 0, z = -7, t = 0.
b)
La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:
| M = | x | y | z | t | ||||
| 1 | 1 | -2 | 3 | ⋮ | 4 | |||
| 2 | 3 | 3 | -1 | ⋮ | 6 | |||
| 5 | 7 | 4 | 1 | ⋮ | 5 |
| ~ | x | y | z | t | ||||
| 1 | 1 | -2 | 3 | ⋮ | 4 | |||
| 0 | 1 | 7 | -7 | ⋮ | -5 | |||
| 0 | 2 | 14 | -14 | ⋮ | -15 |
| ~ | x | y | z | t | ||||
| 1 | 1 | -2 | 3 | ⋮ | 4 | |||
| 0 | 1 | 7 | -7 | ⋮ | -5 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | ⋮ | -5 |
No hay necesidad de continuar calculando nada más, puesto que la matriz escalonada ya nos indica que el sistema es incompatible (SI), es decir, que no tiene solución. Específicamente, la tercera fila de la matriz escalonada corresponde a la ecuación
0·x + 0·y + 0·z + 0·t = -5
Obteniendo como resultado 0 = -5, que es absurdo. Por lo tanto, decimos que no tiene solución.
Autor: Jesús. España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)