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Matrices y determinantes. Operaciones. AP-11

Contenido: Adjunto de una matriz. Ejercicio: cálculo de la matriz inversa. Cálculo del rango de una matriz.

Matrices y determinantes

Adjunto de una matriz

Consideremos una matriz n-cuadrada A = (a×) sobre un cuerpo K. El adjunto de A, denotado por adj A, es la traspuesta de la matriz de cofactores de A:

adj A =

 

a11

a21

...

an1

 

a12

a22

...

an2

...

...

...

...

a1n

a2n

...

a nm

Ejemplo:

Sea A =

 

1

2

-1

 

0

-3

2

2

1

5

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

A11 = +

-3

2

= -17

1

5

A12 = -

0

2

= 4

2

5

A13 = +

0

-3

= 6

2

1

A21 = -

2

-1

= -11

1

5

A22 = +

1

-1

= 7

2

5

A23 = -

1

2

= 3

2

1

A31 = +

2

-1

= 1

-3

2

A32 = -

1

-1

= -2

0

2

A33 = +

1

2

= -3

0

-3

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

adj A =

 

-17

-11

1

 

4

7

-2

6

3

-3

- Aplicación del adjunto para hallar la matriz inversa

Para toda matriz cuadrada A, A·(adj A) = (adj A) · A = |A| I

De este modo, si | A| ≠ 0,

A-1 = 1/|A| (Adjunta A)

Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro método la inversa de una matriz.

Ejemplo:

Consideremos la matriz

A =

 

1

2

-1

 

0

-3

2

2

1

5

y

adj A =

 

-17

-11

1

 

4

7

-2

6

3

-3

y el det A:

det(A) =

1

2

-1

= -15 + 8 + 0 - 6 - 0 - 2 = -15 ≠ 0

0

-3

2

2

1

5

Así pues, aplicando la propiedad anterior:

A-1 = 1/|A| (Adjunta A), obtenemos:

A-1 = (-1/15).

 

-17

-11

1

 

4

7

-2

6

3

-3

Ejercicio: cálculo de la matriz inversa

Calcular, por la propiedad anterior, la inversa de las siguientes matrices:

a)

A =

 

1

2

 

2

4

 

y B =

 

3

-1

 

2

5

b)

A =

 

1

-3

2

 

2

5

0

0

-1

-2

a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A:

det A =

1

2

= 0; como el determinante es cero, no existe la inversa de la matriz A.

2

4

det B =

3

-1

= 15 + 2 = 17

2

5

El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B, así pues, los cofactores de los cuatro elementos de B son:

B11 = 5 B12 = -2

B21 = 1 B22 = 3

y el adjunto de B, denotado por adj B, será

adj B =

 

5

1

 

-2

3

Aplicando ahora la propiedad

MATRICES Y DETERMINANTES

b) Empezaremos por hallar el det A,

det A =

1

-3

2

= -10 - 4 - 12 = -26

2

5

0

0

-1

-2

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

A11 = +

5

0

= -10

-1

-2

A12 = -

2

0

= 4

0

-2

A13 = +

2

5

= -2

0

-1

A21 = -

-3

2

= -8

-1

-2

A22 = +

1

2

= -2

0

-2

A23 = -

1

-3

= 1

0

-1

A31 = +

-3

2

= -10

5

0

A32 = -

1

2

= 4

2

0

A33 = +

1

-3

= 11

2

5

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

adj A =

 

-10

-8

-10

 

4

-2

4

-2

1

11

Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1:

A-1 = 1/|A| (Adjunta A) = (-1/26).

 

-10

-8

-10

 

= simplificando,

4

-2

4

-2

1

11

 

A-1 =

 

5/13

4/13

5/13

 

-2/13

1/13

-2/13

1/13

-1/26

-11/26

Cálculo del rango de una matriz

Consideremos la matriz A = (aij):

A =

 

a11

a12

...

a1n

 

a21

a22

...

a2n

...

...

...

...

am1

am2

...

a mn

1- El rango de la matriz A coincide con el de la matriz A´ que se obtiene suprimiendo en la matriz A todas la líneas (filas o columnas) cuyas entradas estén sólo formadas por ceros, es decir, que sean nulas.

2- Consideremos la matriz:

A1 = (a11, a12, ..., a1n)

y supongamos que

a11 ≠ 0,

entonces:

rango (A) ≥ rango(A 1) = 1

3- Añadimos filas de la matriz A a la matriz A1 hasta encontrar una matriz que cumpla:

A2 =

 

a11

...

a1n

 

, donde (1 < i ≤ n),:

ai1

...

ain

tal que posea un menor no nulo de la forma:

a11

a1j

≠ 0

ai1

aij

Por consiguiente,

rango (A) ≥ rango(A 2) = 2.

Si esto no hubiese sido posible, entonces:

rango (A) = 1.

Supongamos que rango (A) ≥ rango (A2) y que i = 2 y j = 2.

4- Añadimos filas a la matriz A2 hasta encontrar una matriz que cumpla:

A3 =

 

a11

a12

a1j

 

a21

a22

a2j

ai1

ai1

aij

de forma que posea un menor de orden tres de la forma:

a11

a12

a1j

≠ 0

a21

a22

a2j

ai1

ai2

aij

Entonces:

rango (A) ≥ rango (A2) = 3.

En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor, entonces:

rango (A) = rango (A2) = 2.

Suponiendo que rango (A) ≥ rango (A3) y que i = 3 y j = 3, se procedería como en los casos anteriores, y así sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A.

Ejemplos:

a) Sea la matriz A una matriz de orden tres. Hallar el rango (A).

A =

 

1

2

-5

 

3

6

5

0

-1

4

Como A es una matriz cuadrada de orden tres, como máximo el rango (A) puede valer tres. Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A. Así pues

1

2

= 6 - 6 = 0

3

6

Ya que el resultado es cero, probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero. Si no encontramos ninguna, el rango (A) = 1.

1

-5

= 2 - (-15) = 2 + 15 = 17 ≠ 0

3

2

Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo, podemos afirmar de momento que el rango (A) = 2.

Añadimos ahora una columna y una fila más para ver si el rango puede ser tres:

1

2

-5

= 24 + 0 + 15 - 0 - 24 + 2 = 17 ≠ 0

3

6

2

0

-1

4

Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres, el rango

(A) = 3.

No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz, ésta tiene que ser cuadrada. Así, en el siguiente ejemplo:

b) Calcular el rango de la matriz B de orden 3 × 4.

B =

 

1

-2

1

0

 

2

-4

2

-1

1

1

1

3

 

1

-2

= -4 + 4 = 0

2

-4

1

1

= 2 - 2 = 0

2

2

1

0

= -1 + 0 = -1 ≠ 0

2

-1

Como hay una determinante de orden dos no nulo, el rango de la matriz B es mayor o igual que 2. Calculamos a continuación los determinantes de orden superior:

1

-2

1

= -4 - 4 + 2 + 4 + 4 - 2 = 0

2

-4

2

1

1

1

Probamos con un segundo determinante de orden tres:

1

-2

0

= -12 + 2 + 0 + 0 + 12 + 1 = 3 ≠ 0

2

-4

-1

1

1

3

Así pues, como hay un determinante de orden tres que no es nulo, el rango (B) = 3. Un rango mayor que 3 no se puede hallar, ya que no se puede formar un determinante de orden 4. Recuérdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz, éstas tienen que ser cuadradas.

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