Problema n° 4 de trigonometría - TP02
Enunciado del ejercicio n° 4
Resolver los siguientes triángulos:
Desarrollo
Datos:
| a) | A = 325 m a = 30° 45' 20" c = 87° 30' | c) | B = 601 m C = 1.000 m c = 95° 02' 08" |
| b) | A = 40 cm B = 38 cm C = 27 cm | d) | A = 12,33 cm C = 24,05 cm b = 76° 45' 30" |
Fórmulas:
Teorema del Seno: "En todo triángulo sus lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos".
| A | = | B | = | C |
| sen a | sen b | sen c |
Teorema del Coseno:
A² = B² + C² - 2·B·C·cos a
A + B + C = 180° (suma de los ángulos interiores de un triángulo)
Esquema:
Solución
a)
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es:
a + b + c = 180°
b = 180° - a - c
b = 180° - 30° 45' 20" - 87° 30'
b = 61° 44' 40"
Aplicando el Teorema del seno:
A/sen a = C/sen c
C = A·sen c/sen a
C = (325 m·sen 87° 30')/(sen 30° 45' 20")
C = (325 m·0,9990)/0,5114
C = 634,935 m
Aplicando el Teorema del seno:
A/sen a = B/sen b
B = A·sen b/sen a
B = (325 m·sen 61° 44' 40")/(sen 30° 45' 20")
B = (325 m·0,8808)/0,5114
B = 559,812 m
b)
Aplicando el Teorema del Coseno:
A² = B² + C² - 2·B·C·cos a
B² + C² - A² = 2·B·C·cos a
cos a = (B² + C² - A²)/2·B·C
cos a = [(38 cm)² + (27 cm)² - (40 cm)²]/2·(38 cm)·(27 cm)
cos a = (1.444 cm² + 729 cm² - 1.600 cm²)/(2.052 cm²)
cos a = (573 cm²)/(2.052 cm²)
cos a = 0,2792
a = arccos 0,2792
a = 73° 47' 7"
Aplicando el Teorema del Coseno:
B² = A² + C² - 2·A·C·cos b
A² + C² - B² = 2·A·C·cos b
cos b = (A² + C² - B²)/2·A·C
cos b = [(40 cm)² + (27 cm)² - (38 cm)²]/2·(40 cm)·(27 cm)
cos b = (1.600 cm² + 729 cm² - 1.444 cm²)/(2.160 cm²)
cos b = (885 cm²)/(2.160 cm²)
cos b = 0,4097
b = arccos 0,4097
b = 65° 48' 45"
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es:
a + b + c = 180°
c = 180° - a - b
c = 180° - 73° 47' 7" - 65° 48' 45"
c = 40° 24' 8"
c)
Aplicando el Teorema del Seno:
C/sen c = B/sen b
sen b = (B/C)·sen c
sen b = (601 m/1.000 m)·sen 95° 02' 08"
sen b = 0,601·0,9961
sen b = 0,5987
b = arcsen 0,5987
b = 36° 46' 32"
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es:
a + b + c = 180°
a = 180° - b - c
a = 180° - 36° 46' 32" - 95° 02' 08"
a = 48° 11' 20"
Aplicando el Teorema del Seno:
A/sen a = C/sen c
A = C·sen a/sen c
A = (1.000 m·sen 48° 11' 20")/(sen 95° 02' 08")
A = (1.000 m·0,7453)/0,9961
A = 748,23 m
d)
Aplicando el Teorema del Coseno:
B² = A² + C² - 2·A·C·cos b
B² = (12,33 cm)² + (24,05 cm)² - 2·(12,33 cm)·(24,05 cm)·cos 76° 45' 30"
B² = 152,0289 cm² + 578,4025 cm² - 593,073 cm²·0,2291
B² = 594,582801 cm²
B = 24,38 cm
Aplicando el Teorema del Seno:
C/sen c = B/sen b
sen c = (C/B)·sen b
sen c = (24,05 cm/24,38 cm)·sen 76° 45' 30")
sen c = 0,9863·0,9734
sen c = 0,9601
c = arctg 0,9601
c = 0,7650
c = 43° 49' 59"
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es:
a + b + c = 180°
a = 180° - c - b
a = 180° - 43° 49' 59" - 76° 45' 30"
a = 59° 24' 31"
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo calcular los lados y los ángulos de triángulos mediante trigonometría