Física

Electrodinámica: Potencia y energía de un generador. Ley de Joule. Fuerza electromotriz y diferencia de potencial. Asociación de resistencias. Análisis de circuitos

POTENCIA

Potencia y energía de un generador

La energía eléctrica We que suministra un generador al circuito eléctrico depende de la cantidad de carga que lo atraviese. Dado que la fuerza electromotriz de un generador representa la energía que suministra al circuito por cada unidad de carga que lo atraviesa, se podrá escribir:

Energía total suministrada = Energía x carga / carga

es decir:

We = q. ε

Pero de acuerdo con la definición de intensidad eléctrica,la carga eléctrica q se puede escribir como el producto de la intensidad por el tiempo (10.1); luego la energía eléctrica suministrada por el generador al circuito en un tiempo t vendrá dada por la expresión:

We = ε .i.t(10.5)

La potencia P de un generador representa la energía eléctrica que cede al circuito por unidad de tiempo:

P = We/t(10.6)

Combinando las anteriores ecuaciones resulta para P la expresión:

P = ε .i(10.7)

Al igual que la potencia mecánica, la potencia eléctrica se expresa en watts (W).

Efectos caloríficos de la corriente eléctrica

Ley de Joule

El calentamiento de los conductores por el paso de la corriente eléctrica fue uno de los primeros efectos observados por los científicos estudiosos de los fenómenos eléctricos,sin embargo, habría de pasar algún tiempo antes de que se conociera la magnitud de tal efecto calorífico y los factores de los que depende. James Prescott Joule (1818-1889) se interesó desde joven en la medida de temperaturas de motores eléctricos,lo que le permitió hacia 1840 encontrar la ley que rige la producción de calor por el paso de una corriente eléctrica a través de un conductor. La ley de Joule establece que la cantidad de calor producida es directamente proporcional a la resistencia R del conductor, al cuadrado de la intensidad de corriente I que lo atraviesa y al tiempo t. ES decir:

Q = I².R.t(10.8)

El efecto calorífico, también llamado efecto Joule, puede ser explicado a partir del mecanismo de conducción de los electrones en un metal. La energía disipada en los choques internos aumenta la agitación térmica del material, lo que da lugar a un aumento de la temperatura y a la consiguiente producción de calor. La ley de Joule, por su parte, puede ser enfocada como una consecuencia de la interpretación energética de la ley de Ohm. Si I.R representa la energía disipada por cada unidad de carga, la energía total que se disipa en el conductor en forma de calor, cuando haya sido atravesado por una carga q, será:

Q = q.I.R

Pero dado que q = I.t, se tiene finalmente:

Q = I².R.t

que es precisamente la ley de Joule. La potencia calorífica representa el calor producido en un conductor en la unidad de tiempo. Su expresión se deduce a partir de la ley de Joule en la forma:

P = Q/t = i².R.t/t = i².R(10.9)

Puesto que el calor es una forma de energía, se expresa en joules (J) y la potencia calorífica en watts (W). Cuando se combinan las ecuaciones (10.9) y (10.3) resulta otra expresión para la potencia eléctrica consumida en un conductor:

P = I.R.I = I.V(10.10)

Fuerza electromotriz y diferencia de potencial

La noción de fuerza electromotriz de un generador como energía que comunica el circuito por cada unidad de carga que lo atraviesa, está referida a un generador ideal o puro. En tal caso toda la energía que produce el generador la cede íntegramente al circuito, por lo cual la fuerza electromotriz ε coincide exactamente con la diferencia de potencial V constante que mantiene entre sus bornes:

ε = V(10.11)

En realidad, una pila, una batería o un alternador son en sí mismos elementos conductores que forman parte del circuito por donde pasa la corriente y en mayor o menor medida oponen, como tales, una cierta resistencia al movimiento de las cargas. Ello significa que el generador, al formar parte del circuito, se calienta y disipa, por tanto, una cierta cantidad de calor. La idea de balance de energía a la que equivale la interpretación de la ley de Ohm en términos energéticos puede entonces extenderse al caso de un generador con el propósito de encontrar la relación entre ε y V en esta nueva situación. Aplicando la conservación de la energía por unidad de carga a los extremos del generador, se tiene:

Energía disponible por unidad de carga = Energía producida por el generador por unidad de carga - Energía disipada por efecto Joule por unidad de carga

que en forma de símbolos resulta ser:

V = ε - i.r(10.12)

Esta ecuación se conoce como ley de Ohm generalizada a un generador y permite determinar la diferencia de potencial que es capaz de mantener entre sus bornes un generador real, esto es, con resistencia interna r no despreciable.

Aplicación de la ley de Joule

La ley de Joule permite calcular la energía disipada en forma de calor en un conductor. Su expresión matemática es Q = I².R.t, siendo R la resistencia en ohms, I la intensidad de corriente en amperios y t el tiempo en segundos. Para elevar la temperatura del agua en 1 °C se necesitan 4,2 J por cada gramo. Se trata de determinar, aplicando la ley de Joule,el valor de la resistencia eléctrica que debe tener un calentador eléctrico para que, conectado a un enchufe de 220 V,sea capaz de elevar la temperatura de un litro de agua de 15 °C a 80 °C en cinco minutos. La energía calorífica necesaria para elevar la temperatura del agua de 15 °C a 80 °C será:

Q = 1 kg.(80 °C - 15 °c).4,2 J/kg °C = 2,73.105.J

pues un litro de agua corresponde a un kilogramo de masa y 4,2 representa el calor en joules por gramo y grado centígrado (calor específico). Dado que se dispone del valor de la tensión, pero no de la Intensidad, será necesario transformar la ley de Joule de modo que en la fórmula correspondiente aparezca aquélla y no ésta. Recurriendo a la ley de Ohm V = i.R se tiene:

Q = (V/R)².R.t = V².t/R

Despejando R y sustituyendo los valores conocidos resulta:

R = V².t/Q = (220 V)².300 s/2,73.105 J = 53,2.Ω

Aplicación del concepto de potencia eléctrica

En una bombilla ordinaria puede leerse la inscripción 60 W-220 V. Con estos datos se trata de determinar: a) la intensidad de corriente que pasa por la bombilla cuando está conectada a la red. b) El valor en Ω de su resistencia eléctrica. c) la energía eléctrica expresada en joules y en kW-h que consume al cabo de dos horas de estar encendida.

La potencia eléctrica P consumida en una resistencia puede expresarse bien en la forma P = I.V siendo I la intensidad de corriente , V la caída de potencial entre sus extremos, bien en la forma P = I². R que combina la anterior ecuación con la ley de Ohm V = I.R.

a) El valor de la intensidad se obtiene a partir de la primera ecuación sustituyendo los datos que aparecen grabados en la bombilla:

P = i.V

i = P/V = 60 W/220 V ≈ 0,27 A

b) El valor de la resistencia puede calcularse, bien utilizando la segunda expresión de la potencia, bien a partir de la ley de Ohm:

V = i.R

R = V/i = V²/P = (220 V)²/60 W ≈ 807Ω

c) El valor de la energía eléctrica consumida en joules resulta de aplicar la noción de potencia como energía por unidad de tiempo:

P = We/t ⇒ We = P.t

Dado que cada hora consta de 3 600 segundos, resulta:

We = 60.2.3600 = 4,32.105.J

Recordando que 1 W = 10‾³ kW, el resultado en kW-h vendrá dado por:

We = 60.10‾³.kW.2.h = 0,12.kW.h

Circuitos de corriente continua

Un circuito eléctrico está formado por la asociación de una serie de elementos conductores que hacen posible el mantenimiento por su interior de una corriente eléctrica. Si los generadores producen una diferencia de potencial constante entre sus bornes o polos, la corriente producida será continua. Tal es el caso de las pilas y de las baterías.

En los circuitos de corriente continua pueden distinguirse básicamente dos tipos de elementos, los generadores y los receptores. Los primeros aportan al circuito la energía necesaria para mantener la corriente eléctrica, los segundos consumen energía eléctrica y, o bien la disipan en forma de calor,como es el caso de las resistencias, o bien la convierten en otra forma de energía, como sucede en los motores.

Una pila en un circuito eléctrico se representa mediante el símbolo:

(que refleja la polaridad del generador)

Representación de una pila en un circuito eléctrico

Una resistencia se representa por el símbolo:

Representación de una resistencia en un circuito eléctrico

Para simplificar el estudio, se supone que las magnitudes o parámetros característicos de estos elementos se concentran en los puntos del circuito donde se representan. Así,la resistencia de los cables de conexión o se desprecia o se supone concentrada en un punto como si se tratara de un elemento de circuito más. El estudio cuantitativo de los circuitos eléctricos de corriente continua se efectúa como una aplicación de dos principios básicos:

El principio de conservación de la energía referido a la unidad de carga eléctrica, según el cual en todo el circuito, o en cualquier tramo de él, la energía que pierde la corriente eléctrica es igual a la energía cedida por el circuito al exterior. Es, en esencia, la ley de Ohm generalizada e interpretada como balance de energías.

El principio de no acumulación de cargas, que indica que las cargas no pueden acumularse. Eso significa que si no hay bifurcaciones, la intensidad de corriente es la misma en todo el circuito, y si las hay, la intensidad de corriente que entra en un nudo o punto de bifurcación ha de ser igual a la suma de las que salen de él.

Tales principios se conocen también como leyes de Kirchhoff.

Asociación de resistencias

Existen dos modos fundamentales de conectar o asociar las resistencias entre sí, en serie y en paralelo o derivación. En la asociación en serie las resistencias se conectan una tras otra de modo que por todas ellas pasa la misma intensidad de corriente. En la asociación en paralelo la conexión se efectúa uniendo los dos extremos de cada una de ellas a un mismo par de puntos. En este caso la diferencia de potencial entre los extremos de cualquiera de las resistencias asociadas es la misma, pero, de acuerdo con el principio de no acumulación de cargas, la intensidad total que llega al nudo o punto de bifurcación se reparte entre ellas.

Se denomina resistencia equivalente de una asociación de resistencias a aquella resistencia única por la que podría sustituirse la asociación sin alterar la intensidad que circula por el circuito. En el caso de una asociación en serie de tres resistencias, la fórmula de la resistencia equivalente Re se obtiene como sigue. De acuerdo con la ley de Ohm aplicada a cada una de ellas, se tiene:

V1 = I.R1 ; V2 = I.R2 ; V3 = I.R3

donde V1, V2 y V3 son las tensiones entre sus extremos respectivos e I la intensidad de corriente que las atraviesa, igual para todas ellas. De acuerdo con el principio de conservación de energía referido a la unidad de carga, la cantidad total de energía que pierde la unidad de carga al atravesar las tres resistencias será igual a la suma de las cantidades que pierde en cada resistencia, es decir:

V = V1 + V2 + V3 = IR1 + IR2 + IR3 = I.(R1 + R2 + R3)

Si la ley de Ohm se aplica a la asociación en su conjunto, se tiene: V = I.Re

Comparando ambas ecuaciones resulta:

Re = R1 + R2 + R3(10.13)

Ecuación que puede generalizarse a cualquier número de resistencias.

Si la asociación fuera en paralelo, al llegar al nudo la corriente se reparte entre las diferentes resistencias y, de acuerdo con el principio de no acumulación de cargas, se cumplirá, en este caso, la relación

I = I1 + I2 + I3

con V1 = V2 = V3 = V

Aplicando la ley de Ohm a cada resistencia, resulta ahora:

V = I1.R1 ; V = I2.R2 ; V = I3.R3

Para la asociación en su conjunto se tendrá:

V = I.Re

Si se sustituyen los valores de I,I1, I2 e I3 en la ecuación de las intensidades se obtiene:

V/Re = V/R1 + V/R2 + V/R3

es decir:

1/Re = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3(10.14)

En este caso es la suma de los inversos la que da lugar,no a la resistencia equivalente, sino a su inverso. Por tal motivo en este tipo de asociación el valor de la Re,resulta ser inferior al de la más pequeña de las resistencias asociadas.

Análisis de circuitos

En el estudio del comportamiento de cualquiera de las partes o de los elementos de un circuito, se precisa conocer cuál es la intensidad de corriente que circula por él. La determinación de la intensidad o intensidades de corriente que circulan por todos y cada uno de los elementos de un circuito dado recibe el nombre de análisis de circuito.

En el caso de circuitos simples con un solo generador, o con 1arios asociados en serie, es posible llevar a término el análisis de circuitos aplicando de forma general los principios anteriormente considerados, así como las fórmulas de asociación de resistencias. Sin embargo, cuando existen 1arios generadores distribuidos por diferentes bifurcaciones o ramas el problema del análisis se complica y es preciso recurrir a procedimientos más potentes y también más laboriosos.

Ejemplo del análisis de un circuito eléctrico: Con cuatro bombillas de 2, 3, 4 y 6 Ω de resistencia eléctrica y una pila de 4,5 1 se monta un circuito como el de la figura. Se trata de: a) Analizar el circuito. b) Determinar la diferencia de potencial entre los puntos A y B. c) Calcular la energía que cede la pila al circuito en un minuto.

a) Analizar un circuito eléctrico significa determinar la intensidad, o intensidades, de corriente que circulan por él. En circuitos con un solo generador (o con 1arios asociados en serie) el procedimiento consta de las siguientes etapas:

1. Determinar la resistencia equivalente de todo el circuito. Ello equivale a convertirlo en otro equivalente simplificado del tipo representado en la figura adjunta. En el presente caso se trata de una asociación mixta serie-paralelo:

Re (serie) = R3 + R4 = 2 Ω + 4 Ω = 6 Ω

Re (paralelo) = R1.R2/(R1 + R2) = 6 Ω.3 Ω/(6 Ω + 3 Ω) = 2 Ω

pues

1/Re = 1/R1 + 1/R2

Re (total) = Re (serie) + Re(paralelo) = 6 Ω + 2 Ω

2. Aplicar la ley de Ohm al circuito equivalente simplificado:

ε = i.Re (total) ⇒ i = ε /Re(total)

i = 4,5 V/8 Ω ≈ 0,6 A

3. Si, como en el caso presente, el circuito presenta derivaciones, calcular las intensidades que circulan por cada una de las ramas. De acuerdo con el principio de no acumulación de las cargas:

I = I1 + I2 es decir I1 + I2 = 0,6 A

Dado que en toda asociación en paralelo los puntos de confluencia o nodos son los mismos, la tensión entre ellos es la misma y, por tanto, aplicando la ley de Ohm, resulta:

1 = R1.I1 = R2.I2 es decir 3 Ω.I1 = 6 Ω.I2

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

I1 + I2 = 0,6 A

3Ω.I1 = 6Ω.I2

resulta:

I1 = 0,4 A e I2 = 0,2 A

b) Una 1ez el circuito ha sido analizado es posible responder a cualquier otra pregunta sobre el mismo. La diferencia de potencial entre A y B se calcula efectuando un balance de energía por unidad de carga. Cuando una carga unidad procedente de B pasa por la pila recibe ε joules de energía y al pasar por la resistencia R3 pierde I.R3, luego el balance total será:

VB - VA = ε - l.R3

es decir: V BA = 4,5 V - 2 Ω.0,6 A = 3,3 V

c) la energía que cede el generador al circuito en un tiempo t viene dada, de acuerdo con el concepto de potencia, por el producto de la potencia del generador por el tiempo:

Ee = P.t = ε .I.t = 4,5 V.0,6 A.60 s = 162 J

Editor: Fisicanet ®

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