Física

Impulso y cantidad de movimiento: Colisiones. El Impulso y la Cantidad de Movimiento. Conservación de la Cantidad de Movimiento Durante las Colisiones. Las Colisiones en una Dimensión.

IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Colisiones

Durante un choque actúa una fuerza relativamente grande sobre las partículas que impactan, aunque solo lo hacen durante un intervalo de tiempo más o menos pequeño. Básicamente en una colisión el movimiento de las partículas que chocan (o,por lo menos, el de una de ellas) cambia en forma muy brusca y que podemos establecer una separación bastante definida entre los tiempos que transcurren "antes de la colisión" y los que lo hacen "después de ella".

Por ejemplo, cuando un bate golpea una pelota de béisbol, el principio y el fin de la colisión puede determinarse con muy buena precisión. El bate está en contacto con la pelota durante un intervalo de tiempo que es muy pequeño comparado con el tiempo en que la pelota esta en el aire. Durante la colisión el bate le aplica una gran fuerza a la pelota. Esta fuerza varía con el tiempo en una forma tan completa que solo puede medirse con dificultad. Tanto la pelota como el bate se desforman durante la colisión.

En las colisiones se verifica el principio de acción y reacción, es decir si el bate le aplica una fuerza a la pelota, la pelota reacciona con una fuerza de igual magnitud pero de sentido contrario, aunque en realidad es indistinto cual es la fuerza de acción y cual la de reacción, podemos decir si la pelota le aplica una fuerza al bate, el bate reacciona con una fuerza de igual magnitud pero de sentido contrario. En el caso de las colisiones estas fuerzas actúan durante lapso de tiempo muy pequeño y se denominan fuerzas instantáneas o impulsivas.

Cuando dos electrones "chocan" la fuerza que actúa entre ambos puede ser conocida fuerza electrostática de repulsión que está asociada con la carga de las partículas. Puede ser que las partículas no se toquen, pero aún así, podemos hablar de una colisión, porque una fuerza relativamente grande que actúa durante un tiempo que se considera pequeño comparado con el tiempo en que las partículas están en observación, tiene un gran efecto en el movimiento de los electrones.

Cuando un protón (H¹ o p) de 25 MeV de energía (1 MeV = 6,242.1012 J), "choca" con un núcleo de un isótopo de la plata (Ag107), las partículas pueden realmente "tocarse" ya que, en éste caso, la fuerza predominante que actúa entre ellas no es la fuerza electrostática repulsiva, si no la fuerza nuclear atractiva que es intensa y de corto alcance. El protón puede penetrar en el núcleo de la plata para formar una estructura compuesta, después de un tiempo pequeño -el "intervalo de la colisión" puede ser de 1018 segundos- la estructura compuesta puede separarse en dos partículas diferentes según un esquema tal como:

p + Ag107 → α + Pd104

En el que α = He4 es una partícula alfa. En consecuencia el concepto de colisión puede aplicarse para que incluya eventos (que generalmente se llaman reacciones) en los que cambian las identidades de las partículas que interaccionan. Los principios de conservación son aplicables a todos estos ejemplos.

Si se desea, la definición de una colisión puede ampliarse aún más para incluir en ella a la desintegración espontánea de una partícula en dos o más partículas distintas. Un ejemplo de esto es la desintegración de una partícula elemental, llamada la partícula sigma, en otras dos partículas, el pión y el neutrón según el esquema:

∑ → π - + n

Aunque en éste proceso no ocurre que dos cuerpos lleguen a estar en contacto (a menos que se le considere en sentido inverso) tiene muchas características en común con las colisiones, a saber:

1 - Hay una distinción clara entre "antes del suceso" y "después de suceso".

2 - Las leyes de la conservación del ímpetu y de la energía proporcionan mucha información relacionada con éste tipo de proceso, estudiando las situaciones "antes" y "después", aún cuando se sepa poco sobre las leyes de las fuerzas que operan durante el "evento" mismo.

El Impulso y la Cantidad de Movimiento

Supongamos que la figura 1 muestra la magnitud de la fuerza ejercida sobre un cuerpo durante una colisión. También supongamos que dicha fuerza tiene una dirección constante. La colisión comienza en el instante ti y termina en el tf, y la fuerza es nula antes y después del choque. El cambio de la cantidad de movimiento o ímpetu dp de un cuerpo, en el intervalo de tiempo dt durante el cual ha estado actuando una fuerza F sobre él puede escribirse como:

dp = F.dt

El cambio en la cantidad de movimiento del cuerpo durante una colisión, puede obtenerse integrando sobre el tiempo que dura dicha colisión, es decir:

Impulso y Cantidad de Movimiento

Impulso y Cantidad de Movimiento

Figura 1: La figura muestra como puede variar con el tiempo una fuerza instantánea durante una colisión que comienza en el tiempo ti y finaliza en el timpo tf.

La integral de una fuerza sobre el intervalo de tiempo en que actúa se llama impulso I de la fuerza. Por lo tanto el cambio de la cantidad de movimiento p de un cuerpo movido por una fuerza impulsiva, es igual al impulso. Tanto el impulso como la cantidad de movimiento son vectores y ambos tienen las mismas unidades y dimensiones.

Para el impulso:

I = F.t

siendo:

I: impulso [I] = kg.m/s

para la cantidad de movimiento:

p = m.v

siendo:

p: cantidad de movimiento [p] =kg.m/s

Conservación de la Cantidad de Movimiento Durante las Colisiones

Conservación de la Cantidad de Movimiento

Considerando ahora una colisión entre dos partículas, tales como las de las masa m1 y m2 (figura 2), durante la breve colisión, las partículas ejercen fuerzas internas entre sí. En cualquier instante F12 es la fuerza ejercida la partícula 2 sobre la partícula 1 y F21 es la fuerza ejercida por la partícula 1 sobre la partícula 2. Por la tercera ley de Newton, estas fuerzas son, en cualquier instante, de igual magnitud pero de sentido contrario (acción y reacción).

El cambio de la cantidad de movimiento de la partícula 1 como resultado del choque es:

Impulso y Cantidad de Movimiento

En donde F12m es el valor medio de la fuerza durante el intervalo de tiempo Δt = tf - ti que dura la colisión.

El cambio de la cantidad de movimiento de la partícula 2 como resultado del choque es:

Impulso y Cantidad de Movimiento

En donde F21m es el valor medio de la fuerza durante el intervalo de tiempo Δt = tf - ti que dura la colisión.

Si sobre las partículas no actúan otras fuerza, el cambio total en la cantidad de movimiento de cada una de ellas es Δp1 y Δp2. Pero hemos visto que en cada instante, F12 = -F21, de modo que F12m = - F21my, por lo tanto:

Δp1 = - Δp2

Si consideramos que las dos partículas forman un sistema aislado, la cantidad de movimiento total del sistema es:

P = p1 + p2

Y el cambio total en la cantidad de movimiento del sistema provocado por la colisión es cero, o sea que:

ΔP = p1 + p2 = 0

Por lo tanto si no hay fuerzas externas, la colisión no altera la cantidad de movimiento total del sistema. Las fuerzas impulsivas que actúan durante la colisión son fuerzas internas que no producen ningún efecto sobre la cantidad de movimiento total del sistema.

Conservación de la Cantidad de Movimiento

Figura 3: Durante la colisión la fuerza impulsiva Fi es generalmente mucho mayor que cualquiera de la fuerzas externas Fe que pueden estar actuando sobre el sistema.

Se ha definido un choque como una interacción que tiene lugar en un tiempo Δ que es despreciable comparado con el tiempo durante el cual se observa el sistema. También podemos caracterizar a una colisión como un suceso en el que
las fuerzas externas que pueden estar actuando sobre el sistema sean despreciables comparadas con las fuerzas impulsivas de la colisión.
Cuando un bate golpea a una pelota de béisbol también actúan fuerzas externas sobre el sistema, por ejemplo la gravedad o la fuerza rozamiento del aire. Estas fuerzas externas pueden no ser las mismas para todos los cuerpos que intervengan en la colisión ni tienen que ser necesariamente equilibradas por otras fuerzas externas. Aún así las fuerzas externas pueden ignorarse, sin mucho riesgo, durante la colisión y se puede suponer la validez de la conservación de la cantidad de movimiento, ya que, como sucede casi siempre, las fuerzas externas son despreciables comparadas con las fuerzas impulsivas de la colisión. De esto resulta que durante una colisión, el cambio en la cantidad de movimiento de una partícula, proveniente de una fuerza externa, es despreciable comparado con el cambio en la cantidad de movimiento de dicha partícula debido a la fuerza impulsiva de la colisión (figura 3).

Por ejemplo, cuando un bate golpea a una pelota de béisbol, la colisión solo dura una pequeña fracción de segundo. Como el cambio en la cantidad de movimiento es grande y el tiempo de la colisión es pequeño, resulta que la fuerza impulsiva promedio Fm es relativamente grande, comparada con ésta,la fuerza de la gravedad es despreciable. Al determina el cambio del movimiento de la pelota, durante la colisión,podemos ignorar, sin riesgo alguno, a esta fuerza externa. Mientras menor sea la duración del choque mejor será el resultado obtenido.

Por lo tanto, en la práctica podemos aplicar el principio de la conservación de la cantidad de movimiento durante las colisiones, con tal de que el tiempo que dura la colisión sea suficientemente pequeño. Entonces podemos decir que la cantidad de movimiento de un sistema de partículas justo antes de que choquen, es igual a la cantidad de movimiento del sistema inmediatamente después de que ello ocurra.

Las Colisiones en una Dimensión

Los movimientos de los cuerpos después de una colisión pueden calcularse siempre, a partir de sus movimientos anteriores a la misma, si se conoce la fuerza que actúa durante ella y si se pueden resolver las ecuaciones de movimiento. A menudo estas fuerzas no se conocen. Sin embargo, el principio de la conservación de la cantidad de movimiento debe ser válido durante la colisión. Sabemos también que el principio de la conservación de la energía es válido. Aunque no conozcamos los detalles de la interacción, en muchos casos podemos utilizarlo para predecir los resultados de la colisión.

Por lo común, las colisiones se clasifican según que se conserve o no la energía cinética durante el choque. Cuando la energía cinética se conserva, se dice que la colisión es elástica. En caso contrario, se dice que la colisión es inelástica. Las colisiones entre las partículas atómicas, nucleares y fundamentales algunas veces son elásticas (pero no siempre). En realidad, estas son las únicas colisiones verdaderamente elásticas que se conocen. Las colisiones entre cuerpos grandes siempre tienen algún grado de inelasticidad. Sin embargo a menudo podemos tratar a dichas colisiones como si fuesen aproximadamente elástica, como sucede, por ejemplo, en las colisiones entre bolas de marfil o de vidrio. Cuando dos cuerpos se adhieren juntándose después de una colisión, se dice que tal colisión es completamente inelástica. El término completamente inelástico no significa que se pierda toda la energía cinética; como vemos, más bien significa que la pérdida de ella es tan grande como lo pueda permitir el principio de la conservación de la cantidad de movimiento.

Aún cuando se desconozcan las fuerzas de la colisión podemos encontrar los movimientos de las partículas después de que ocurra, a partir de sus movimientos antes de la misma, siempre que la colisión sea completamente inelástica, o cuando la colisión sea elástica y en una dimensión. En una colisión unidimensional, el movimiento relativo después de una colisión está sobre la misma línea recta que el movimiento relativo antes de que ocurriera. Por el momento nos restringiremos al movimiento en una sola dimensión.

Colisiones en una Dimensión

Colisiones en una Dimensión

Consideremos primero una colisión elástica en una dimensión. Podemos imaginar a dos esferas lisas que inicialmente se mueven sin girar a lo largo de la línea que une a sus centros, después chocan frontalmente y, pasando la colisión, se mueven sin girar sobre la misma línea recta (figura 4). Durante la colisión, estos cuerpos ejercen, uno sobre el otro, fuerzas que están sobre la línea inicial del movimiento, de manera que el movimiento final también ocurre sobre dicha línea.

Sean m1 y m2 las masas de las esferas, v1i y v2i las componentes de sus velocidades (escalares) antes de la colisión y v1f y v2f las mismas después de la colisión. La dirección positiva de la cantidad de movimiento y de la velocidad es hacia la derecha. Supongamos, a no ser que se especifique de otra forma, que las velocidades de las partículas que chocan no son tan grandes como para requerir del uso de las expresiones relativistas de la cantidad de movimiento y de la energía cinética. Entonces, por la conservación de la cantidad de movimiento tenemos que:

m1.v1i + m2.v2i = m1.vif + m2.v2f

Como la colisión es elástica, la energía cinética se conserva por definición, de modo que tenemos:

m1.v1i²/2 + m2.v2i²/2 = m1.vif²/2 + m2.v2f²/2

Está claro, desde luego, que si conocemos las masas y las velocidades iniciales, podemos calcular las velocidades finales v1iy v2i a partir de estas dos ecuaciones. La ecuación de la cantidad de movimiento puede escribirse como:

m1.(v1i - v1f) = m2.(v2f - v2i) (1)

y la de la energía cinética como:

m1.(v1i² - v1f²) = m2.(v2f² - v2i²) (2)

Haciendo (2) dividido (1) y suponiendo que v2f ≠ v2i y v1f ≠ v1i obtenemos:

v1i + v1f = v2f + v2i

y, después de un reajuste:

v1i - v2i = v2f - v1f (3)

Lo que indica que, en una colisión elástica en una dimensión, la velocidad relativa de acercamiento antes de la colisión es igual a la velocidad relativa de alejamiento luego de la misma.

Casos Particulares

Hay varios casos de interés específico.

1- Las partículas que chocan tienen la misma masa, es decir:

m1 = m2

Entonces resulta:

v1f = v2i y v2f = v1i

En una colisión elástica unidimensional de dos partículas de igual masa, las partículas tan sólo intercambian sus velocidades durante la colisión.

2- Una de las partículas está en reposo, por ejemplo:

v2i = 0

Entonces resulta:

V1f = (m1 - m2).v1i/(m1 + m2)

V2f = 2.m1.v1i/(m1 + m2)

3- Las partículas que chocan tienen la misma masa y una de ellas está inicialmente en reposo:

m1 = m2

v2i = 0

Entonces resulta:

v1f = 0 y v2f = v1i

La primera partícula se detiene mientras que la segunda inicia su trayectoria con la misma velocidad que traía la primera. Es el caso de las bolas de billar.

4- Las partículas que chocan tienen masas muy distintas y una de ellas está inicialmente en reposo:

m1 <<< m2

v2i = 0

Tenemos:

v1f ≈ - v1i y v2f ≈ 0

La velocidad de la partícula ligera se invierte, aproximadamente, mientras que la partícula de mayor masa queda casi en reposo. Es el caso de una bola de billar que rebota contra la banda.

5- Las partículas que chocan tienen masas muy distintas y la más liviana está inicialmente en reposo:

m1 <<< m2

v1i = 0

Tenemos:

v1f ≈v1i y v2f ≈2.v1i

La velocidad de la partícula de mayor masa casi no es alterada por la colisión con la partícula ligera, pero la partícula ligera adquiere una velocidad aproximadamente del doble de la partícula pesada. Cuando una bola de bowlig pega contra un palo, el palo sale disparado.

Los neutrones producidos en un reactor, como producto de la fisión del uranio, se mueven con mucha velocidad y deben ser frenados para que puedan producir otras fisiones. Suponiendo que choquen elásticamente con los núcleos en reposo, ¿qué material habrá que elegir como moderador (es decir, para frenar) de los neutrones del reactor?.

Si los blancos estacionarios fuesen núcleos de gran masa, como los del plomo, los neutrones tan solo rebotarían con una velocidad casi igual a la inicial. Si no se frenan no hay fisión.

Si los blancos estacionarios fuesen núcleos más ligeros que el neutrón, como los electrones, su velocidad inicial casi no sería afectada por las colisiones. Por lo tanto no hay fisión.

Sin embargo, si los blancos estacionarios fuesen aproximadamente de la misma masa, los neutrones prácticamente quedarían en reposo si chocasen frontalmente con estos blancos. Por lo tanto el moderador más efectivo sería el hidrógeno, cuyo núcleo (el protón) tiene una masa muy parecida a la del neutrón.

6- Si una colisión es inelástica, entonces, por definición,
no se conserva la energía cinética.
La energía cinética final puede tener un valor menor que el inicial y, en última instancia, la diferencia queda convertida, por ejemplo, en energía calorífica, o en energía potencial de la deformación en la colisión; también puede ocurrir que el valor final de la energía cinética sea superior al valor inicial, como sucede cuando se libera energía potencial en la colisión. En todo caso, la conservación de la cantidad de movimiento sigue siendo válida, así como la conservación de la energía total.

7- Consideremos ahora una colisión totalmente inelástica.
Las dos partículas se adhieren permaneciendo juntas después de la colisión, de manera que habrá una velocidad final común vf:

v1f = v2f = vf

No es necesario restringir la discusión al movimiento en una dimensión. Usando solamente el principio de conservación de la cantidad de movimiento encontramos que:

m1.v1i + m2.v2i = (m1 + m2).vf

Lo cual determina la velocidad final conociendo las velocidades iniciales.

Autor: .

Bibliografía: Física - Robert Resnick David Holliday

Editor: Fisicanet ®

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