Consecuencias de la ley de gravitación universal

1° Avala matemáticamente las ideas de Galileo Galilei sobre la caída libre de los cuerpos

2° Da significado físico a la constante de la 3ª ley de Kepler

Aceleración de caída libre de los cuerpos en las superficies planetarias

Si un cuerpos de masa m se encuentra a una altura h sobre la superficie terrestre, se hallará sometido a F = G·m·m_T/(r_T + h)².

Como:

F = m·a

entonces:

G·m·m_T/(r_T + h)² = m·a

y por tanto:

a = G·m_T/(r_T + h)²

La aceleración con que cae a tierra un objeto de masa m depende de la masa de la Tierra y no de la del objeto. Por tanto una piedra de 100 g cae con la misma aceleración que una de 10 kg.

La aceleración varía de manera inversa al cuadrado de la distancia al centro de la Tierra. Si h es muy pequeña en comparación al r_T (h << << r_T) se puede escribir:

a = G·m_T/r_T²

Si sustituimos:

G = 6,67·10^-11Nm²/kg²

m_T= 6·10²⁴ kg

r_T= 6370 km

obtenemos: a = 9,8 m/s²

Significado de la constante en la 3ª ley de Kepler

Consideremos un planeta de masa m que orbita en torno al Sol (masa m_s) a una distancia r. La fuerza gravitacional es centrípeta y por tanto:

G·m·m_S/r² = m·ω²·r.

Sabemos que ω = 2·π/T

G·m·m_S/r² = m·(4·π²/T²)·r.

Según la 3ª ley de Kepler T² = K·r³

G·m·m_S/r² = m·(4·π²/K·r³)·r.

Y despejando K:

G·m_S/r² = 4·π²/K·r²

K = 4·π²/G·m_S

Esto quiere decir que Johannes Kepler tenía razón cuando atribuía al Sol el movimiento planetario pues K es la misma para el movimiento de todos los planetas y solo depende de la masa del sol, no de los planetas.

Lo mismo ocurre con la K de un satélite en torno a un planeta. Solo depende de la masa del planeta.

De esta forma se podría hallar la masa del planeta:

T² = (4·π²/G·m)·r³

m = (4·π²/G·T²)·r³

Si no te acuerdas de la fórmula se puede deducir:

G·M_T·m/r² = m·ω²·r.

M_T = ω²·r³/G

M_T = 4·π²·r³/T²·G

Ver ejemplo n° 1