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Campo gravitatorio. Consecuencias de la ley de gravitación universal. AP22

Contenido: Consecuencias de la ley de gravitación universal. Aceleración de caída libre de los cuerpos en las superficies planetarias. Significado de la constante en la 3° ley de Kepler.

Consecuencias de la ley de gravitación universal

1° Avala matemáticamente las ideas de Galileo Galilei sobre la caída libre de los cuerpos

2° Da significado físico a la constante de la 3ª ley de Kepler

Aceleración de caída libre de los cuerpos en las superficies planetarias

Si un cuerpos de masa m se encuentra a una altura h sobre la superficie terrestre, se hallará sometido a F = G·m·mT/(rT + h)².

Como:

F = m·a

Entonces:

G·m·mT/(rT + h)² = m·a

Y por tanto:

a = G·mT/(rT + h)²

La aceleración con que cae a tierra un objeto de masa m depende de la masa de la Tierra y no de la del objeto. Por tanto una piedra de 100 g cae con la misma aceleración que una de 10 kg.

La aceleración varía de manera inversa al cuadrado de la distancia al centro de la Tierra. Si h es muy pequeña en comparación al rT (h << << rT) se puede escribir:

a = G·mT/rT²

Si sustituimos:

G = 6,67·10-11 N·m²/kg²

mT = 6·1024 kg

rT = 6.370 km

Obtenemos: a = 9,8 m/s²

Significado de la constante en la 3ª ley de Kepler

Consideremos un planeta de masa m que orbita en torno al Sol (masa ms) a una distancia r. La fuerza gravitacional es centrípeta y por tanto:

G·m·mS/r² = m·ω²·r.

Sabemos que ω = 2·π/T

G·m·mS/r² = m·(4·π²/T²)·r.

Según la 3ª ley de Kepler T² = K·r³

G·m·mS/r² = m·(4·π²/K·r³)·r.

Y despejando K:

G·mS/r² = 4·π²/K·r²

K = 4·π²/G·mS

Esto quiere decir que Johannes Kepler tenía razón cuando atribuía al Sol el movimiento planetario pues K es la misma para el movimiento de todos los planetas y solo depende de la masa del sol, no de los planetas.

Lo mismo ocurre con la K de un satélite en torno a un planeta. Solo depende de la masa del planeta.

De esta forma se podría hallar la masa del planeta:

T² = (4·π²/G·m)·r³

m = (4·π²/G·T²)·r³

Si no te acuerdas de la fórmula se puede deducir:

G·MT·m/r² = m·ω²·r.

MT = ω²·r³/G

MT = 4·π²·r³/T²·G

Fuente:

http://www.freewebs.com/fisicamontpe/

Física de 2° de Bachillerato - Colegio Montpellier

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