Consecuencias de la ley de gravitación universal
1° Avala matemáticamente las ideas de Galileo Galilei sobre la caída libre de los cuerpos
2° Da significado físico a la constante de la 3ª ley de Kepler
Aceleración de caída libre de los cuerpos en las superficies planetarias
Si un cuerpos de masa m se encuentra a una altura h sobre la superficie terrestre, se hallará sometido a
| F = | G·m·mT |
| (rT + h)² |
Como:
F = m·a
Entonces:
| m·a = | G·m·mT |
| (rT + h)² |
Y por tanto:
| a = | G·mT |
| (rT + h)² |
La aceleración con que cae a tierra un objeto de masa m depende de la masa de la Tierra y no de la del objeto. Por tanto una piedra de 100 g cae con la misma aceleración que una de 10 kg.
La aceleración varía de manera inversa al cuadrado de la distancia al centro de la Tierra. Si h es muy pequeña en comparación al rT (h << << rT) se puede escribir:
| a = | G·mT |
| rT² |
Si sustituimos:
G = 6,67·10-11 N·m²/kg²
mT = 6·1024 kg
rT = 6.370 km
Obtenemos: a = 9,8 m/s²
Significado de la constante en la 3ª ley de Kepler
Consideremos un planeta de masa m que orbita en torno al Sol (masa ms) a una distancia r. La fuerza gravitacional es centrípeta y por tanto:
| G·m·mS | = m·ω²·r |
| r² |
Sabemos que ω = 2·π/T
| G·m·mS | = m· | 4·π² | ·r |
| r² | T² |
Según la 3ª ley de Kepler T² = K·r³
| G·m·mS | = m· | 4·π² | ·r |
| r² | K·r³ |
Y despejando K:
| K = | 4·π² |
| G·mS |
Esto quiere decir que Johannes Kepler tenía razón cuando atribuía al Sol el movimiento planetario pues K es la misma para el movimiento de todos los planetas y solo depende de la masa del sol, no de los planetas.
Lo mismo ocurre con la K de un satélite en torno a un planeta. Solo depende de la masa del planeta.
De esta forma se podría hallar la masa del planeta:
| T² = | 4·π² | ·r³ |
| G·m |
| m = | 4·π² | ·r³ |
| G·T² |
Si no te acuerdas de la fórmula se puede deducir:
| G·MT·m | = m·ω²·r |
| r² |
| MT = | ω²·r³ |
| G |
| MT = | 4·π²·r³ |
| T²·G |
• Fuente:
Física de 2° de Bachillerato - Colegio Montpellier
Autor: Leandro Bautista
España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
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Significado de la constante en la 3° ley de Kepler.