Sistema de mallas. Circuitos eléctricos

Sistema de mallas

Ejemplo nº 1

Determinar las incógnitas de todo el circuito.

Desarrollo

Datos:

V₁ = 20 V

V₂ = 30 V

V₃ = 10 V

V₄ = 20 V

Rpar = 10 Ω

Rimpar = 5 Ω

Esquema:

Esquema del circuito para resolver por el método de mallas

Esquema del circuito para resolver por el método de mallas

Solución

(1) V₁- V₂ = i₁·(R₁ + R₂ + R₅) - i₂·R₅ - i₃·0

(2) V₃ = i₂·(R₄ + R₅ + R₃) - i₁·R₅ - i₃·R₃

(3) V₂- V₄ = -i₁·0 - i₂·R₃ + i₃·(R₃ + R₆)

Reemplazando:

(1) 20 V - 30 V = i₁·(10 Ω + 5 Ω + 10 Ω) - i₂·10 Ω - i₃·0

(2) 10 V = i₂·(5 Ω + 10 Ω + 10 Ω) - i₁·10 Ω - i₃·10 Ω

(3) 30 V - 20 V = -i₁·0 - i₂·10 Ω + i₃·(10 Ω + 5 Ω)

(1) -10 V = i₁·25 Ω - i₂·10 Ω - i₃·0

(2) 10 V = -i₁·10 Ω + i₂·25 Ω - i₃·10 Ω

(3) 10 V = -i₁·0 - i₂·10 Ω + i₃·15 Ω

1) Determinante de todas las incógnitas = Δ

Δ =25 Ω
-10 Ω
0 Ω
-10 Ω
25 Ω
-10 Ω
0 Ω
-10 Ω
15 Ω

Δ = (9.375 + 0 + 0) Ω³ - (0 + 1.500 + 2.500) Ω³

Δ = 5.375 Ω³

2) Determinante de i₁ = Δ₁

Δ₁ =-10 V
10 V
10 V
-10 Ω
25 Ω
-10 Ω
0 Ω
-10 Ω
15 Ω

Δ₁ = (-3.750 + 1.000 + 0) V·Ω² - (0 - 1.000 - 1.500) V·Ω²

Δ₁ = -250 V·Ω²

3) Determinante de i₂ = Δ₂

Δ₂ =25 Ω
-10 Ω
0 Ω
-10 V
10 V
10 V
0 Ω
-10 Ω
15 Ω

Δ₂ = (3.750 + 0 + 0) V·Ω² - (0 - 2.500 + 1.500) V·Ω²

Δ₂ = 4.750 V·Ω²

4) Determinante de i₃ = Δ₃

Δ₃ =25 Ω
-10 Ω
0 Ω
-10 Ω
25 Ω
-10 Ω
-10 V
10 V
10 V

Δ₃ = (6.250 - 1.000 + 0) V·Ω² - (0 + 1.000 - 2.500) V·Ω²

Δ₃ = 6.750 V·Ω²

Luego:

Cálculo de la intensidad de la corriente

i₁ = -0,047 A

Cálculo de la intensidad de la corriente

i₂ = 0,884 A

Cálculo de la intensidad de la corriente

i₃ = 1,256 A

A i₁ se le invierte el sentido por ser negativo.

i₁ = i₁ = 0,047 A

i₃ = i₂ = 0,884 A

i₄ = i₃ = 1,256 A

i₆ = i₃ - i₂ = 0,372 A

i₅ = i₁ + i₂ = 0,931 A

i₂ = i₃ + i₁ = 1,303 A

Para verificar se pueden aplicar las leyes de Kirchhoff

1) Se estudia una malla (1° ley)

2) Se estudia un nodo (2° ley)

Otro método consiste en comparar la potencia de los elementos activos contra la potencia de los elementos pasivos.

P₂ = V₂·i₂ = 30 V·1,303 A = 39,09 W
P₃ = V₃·i₃ = 10 V·0,884 A = 8,84 W
P₄ = V₄·i₄ = 20 V·1,256 A = 25,12 W
P₁ = V₁·i₁ = 20 V·0,047 A = 0,94 W

Potencia de elementos activos = 47,93 W

PR12 = (R₂ + R₁)·i₁² = 15 Ω·(0,047 A)² = 0,0331 W
PR4 = R₄·i₃² = 5 Ω·(0,884 A)² = 3,9073 W
PR6 = R₆·i₄² = 5 Ω·(1,256 A)² = 7,8877 W
PR5 = R₅·i₅² = 10 Ω·(0,931 A)² = 8,6676 W
PR3 = R₃·i₆² = 10 Ω·(0,372 A)² = 1,3838 W

Potencia de elementos pasivos = 47,94 W

Potencia de todos los elementos ≈ 0 W

Medición de tensiones en corriente contínua

También se puede medir corriente alterna mediante rectificación previa.

Bobina móvil/imán permanente

Esquema básico para medir tensión

Esquema básico para medir tensión

Diagrama del circuito, el campo eléctrico, las fuerzas y los momentos

Diagrama del circuito, el campo eléctrico, las fuerzas y los momentos

CM = F·d

CM: cupla motríz

F: fuerza (N)

d: ancho de la espira.

Pero: F = Φ·h·i

CM = Φ·d·h·i

CM = k·i (1)

CR = θ·U (2)

CR: cupla del resorte

θ: ángulo

U: constante del resorte (en física I era k, ver apunte "Fuerza elástica")

En el equilibrio debe ser:

CM = CR

k·i = θ·U

Cálculo del ángulo del indicador

Comercialmente se obtienen instrumentos con las siguientes características:

Resistencia de la bobina: RB = 2 a 20 Ω

Corriente máxima en la bobina: iM = 0,1 a 10 mA

Para el amperímetro:

Esquema básico para medir corriente

Esquema básico para medir corriente

iB·RB = i·RS

i = iB + i

i = i - iB

iB·RB = (i - iB)·RS

iB·RB = i·RS - iB·RS

iB·RB + iB·RS = i·RS

iB·(RB + RS) = i·RS

Cálculo del poder multiplicador shunt

m: Poder de multiplicación shunt

RB + RS = m·RS

RB = RS·(m - 1)

Cálculo de la resistencia eléctrica

Ejemplo nº 2

Para:

i₁ = 1 A

Diagrama de un circuito para medir corriente

Diagrama de un circuito para medir corriente

Cálculo del poder multiplicador shunt

m₁ = 100

Cálculo de la resistencia eléctrica

RS1 = 0,1 Ω

Ejemplo nº 3

Para calcular 2 rangos más:

i₂ = 10 A

i₃ = 100 A

Cálculo del poder multiplicador shunt

m₂ = 1.000

Cálculo de la resistencia eléctrica

RS2 = 0,01 Ω

Cálculo del poder multiplicador shunt

m₃ = 10.000

Cálculo de la resistencia eléctrica

RS3 = 0,001 Ω

Las resistencias internas equivalentes del amperímetro es muy muy muy pequeña.

Diagrama de un circuito para medir corriente

Diagrama de un circuito para medir corriente

El amperímetro se conecta en serie.

Para el voltímetro:

Esquema básico para medir tensión

Esquema básico para medir tensión

V = (RB + Rₘ)·iB

Cálculo de la intensidad de la corriente

Cálculo de tensión eléctrica

Cálculo del poder multiplicador shunt

m: poder multiplicador shunt

Cálculo del poder multiplicador shunt

RB + Rₘ = m·RB

Rₘ = RB·(m - 1)

Ejemplo nº 4

Para calcular un voltímetro de 4 rangos:

V₁ = 100 V

V₂ = 200 V

V₃ = 500 V

V₄ = 1.000 V

Cálculo del poder multiplicador shunt

m₁ = 1.000

Rₘ₁ = 10 Ω·(1.000 - 1)

Rₘ₁ = 10 Ω·999

Rₘ₁ = 9.990 Ω

Cálculo del poder multiplicador shunt

m₂ = 2.000

Diagrama de un circuito para medir tensión

Diagrama de un circuito para medir tensión

Rₘ₂ = 10 Ω·(2.000 - 1) - Rₘ₁

Rₘ₂ = 10 Ω·1.999 - 9.990 Ω

Rₘ₂ = 19.999 Ω - 9.990 Ω

Rₘ₂ = 10.000 Ω

Cálculo del poder multiplicador shunt

m₃ = 5.000

Rₘ₃ = 10 Ω·(5.000 - 1) - Rₘ₁ - Rₘ₂

Rₘ₃ = 10 Ω·4.999 - 10.000 Ω - 9.990 Ω

Rₘ₃ = 49.990 Ω - 19.990 Ω

Rₘ₃ = 30.000 Ω

Cálculo del poder multiplicador shunt

m₄ = 10.000

Rₘ₄ = 10 Ω·(10.000 - 1) - Rₘ₁ - Rₘ₂ - Rₘ₃

Rₘ₄ = 10 Ω·9.999 - 10.000 Ω - 9.990 Ω - 30.000 Ω

Rₘ₄ = 99.990 Ω - 49.990 Ω

Rₘ₄ = 50.000 Ω

Diagrama de un circuito para medir tensión

Diagrama de un circuito para medir tensión

Las resistencias internas equivalentes del voltímetro son muy grandes. El voltímetro se conecta en paralelo.

¿Qué es una corriente de malla?

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