Sistema de mallas. Circuitos eléctricos

Sistema de mallas

Ejemplo nº 1

Determinar las incógnitas de todo el circuito.

Desarrollo

Datos:

V₁ = 20 V

V₂ = 30 V

V₃ = 10 V

V₄ = 20 V

R_par = 10 Ω

R_impar = 5 Ω

Esquema:

Esquema del circuito para resolver por el método de mallas

Solución

(1) V₁- V₂ = i₁·(R₁ + R₂ + R₅) - i₂·R₅ - i₃·0

(2) V₃ = i₂·(R₄ + R₅ + R₃) - i₁·R₅ - i₃·R₃

(3) V₂- V₄ = -i₁·0 - i₂·R₃ + i₃·(R₃ + R₆)

Reemplazando:

(1) 20 V - 30 V = i₁·(10 Ω + 5 Ω + 10 Ω) - i₂·10 Ω - i₃·0

(2) 10 V = i₂·(5 Ω + 10 Ω + 10 Ω) - i₁·10 Ω - i₃·10 Ω

(3) 30 V - 20 V = -i₁·0 - i₂·10 Ω + i₃·(10 Ω + 5 Ω)

(1) -10 V = i₁·25 Ω - i₂·10 Ω - i₃·0

(2) 10 V = -i₁·10 Ω + i₂·25 Ω - i₃·10 Ω

(3) 10 V = -i₁·0 - i₂·10 Ω + i₃·15 Ω

1) Determinante de todas las incógnitas = Δ

Δ = (9.375 + 0 + 0) Ω³ - (0 + 1.500 + 2.500) Ω³

Δ = 5.375 Ω³

2) Determinante de i₁ = Δ₁

Δ₁ = (-3.750 + 1.000 + 0) V·Ω² - (0 - 1.000 - 1.500) V·Ω²

Δ₁ = -250 V·Ω²

3) Determinante de i₂ = Δ₂

Δ₂ = (3.750 + 0 + 0) V·Ω² - (0 - 2.500 + 1.500) V·Ω²

Δ₂ = 4.750 V·Ω²

4) Determinante de i₃ = Δ₃

Δ₃ = (6.250 - 1.000 + 0) V·Ω² - (0 + 1.000 - 2.500) V·Ω²

Δ₃ = 6.750 V·Ω²

Luego:

i₁ = -0,047 A

i₂ = 0,884 A

i₃ = 1,256 A

A i₁ se le invierte el sentido por ser negativo.

i₁ = i₁ = 0,047 A

i₃ = i₂ = 0,884 A

i₄ = i₃ = 1,256 A

i₆ = i₃ - i₂ = 0,372 A

i₅ = i₁ + i₂ = 0,931 A

i₂ = i₃ + i₁ = 1,303 A

Para verificar se pueden aplicar las leyes de Kirchhoff

1) Se estudia una malla (1° ley)

2) Se estudia un nodo (2° ley)

Otro método consiste en comparar la potencia de los elementos activos contra la potencia de los elementos pasivos.

P₂ = V₂·i₂ = 30 V·1,303 A = 39,09 W
P₃ = V₃·i₃ = 10 V·0,884 A = 8,84 W
P₄ = V₄·i₄ = 20 V·1,256 A = 25,12 W
P₁ = V₁·i₁ = 20 V·0,047 A = 0,94 W

Potencia de elementos activos = 47,93 W

P_R12 = (R₂ + R₁)·i₁² = 15 Ω·(0,047 A)² = 0,0331 W
P_R4 = R₄·i₃² = 5 Ω·(0,884 A)² = 3,9073 W
P_R6 = R₆·i₄² = 5 Ω·(1,256 A)² = 7,8877 W
P_R5 = R₅·i₅² = 10 Ω·(0,931 A)² = 8,6676 W
P_R3 = R₃·i₆² = 10 Ω·(0,372 A)² = 1,3838 W

Potencia de elementos pasivos = 47,94 W

Potencia de todos los elementos ≈ 0 W

Medición de tensiones en corriente contínua

También se puede medir corriente alterna mediante rectificación previa.

Bobina móvil/imán permanente

Esquema básico para medir tensión

Diagrama del circuito, el campo eléctrico, las fuerzas y los momentos

C_M = F·d

C_M: cupla motríz

F: fuerza (N)

d: ancho de la espira.

Pero: F = Φ·h·i

C_M = Φ·d·h·i

C_M = k·i (1)

C_R = θ·U (2)

C_R: cupla del resorte

θ: ángulo

U: constante del resorte (en física I era k, ver apunte "Fuerza elástica")

En el equilibrio debe ser:

C_M = C_R

k·i = θ·U

Comercialmente se obtienen instrumentos con las siguientes características:

Resistencia de la bobina: R_B = 2 a 20 Ω

Corriente máxima en la bobina: i_M = 0,1 a 10 mA

Para el amperímetro:

Esquema básico para medir corriente

i_B·R_B = i·R_S

i = i_B + i

i = i - i_B

i_B·R_B = (i - i_B)·R_S

i_B·R_B = i·R_S - i_B·R_S

i_B·R_B + i_B·R_S = i·R_S

i_B·(R_B + R_S) = i·R_S

m: Poder de multiplicación shunt

R_B + R_S = m·R_S

R_B = R_S·(m - 1)

Ejemplo nº 2

Para:

i₁ = 1 A

Diagrama de un circuito para medir corriente

m₁ = 100

R_S1 = 0,1 Ω

Ejemplo nº 3

Para calcular 2 rangos más:

i₂ = 10 A

i₃ = 100 A

m₂ = 1.000

R_S2 = 0,01 Ω

m₃ = 10.000

R_S3 = 0,001 Ω

Las resistencias internas equivalentes del amperímetro es muy muy muy pequeña.

Diagrama de un circuito para medir corriente

El amperímetro se conecta en serie.

Para el voltímetro:

Esquema básico para medir tensión

V = (R_B + Rₘ)·i_B

m: poder multiplicador shunt

R_B + Rₘ = m·R_B

Rₘ = R_B·(m - 1)

Ejemplo nº 4

Para calcular un voltímetro de 4 rangos:

V₁ = 100 V

V₂ = 200 V

V₃ = 500 V

V₄ = 1.000 V

m₁ = 1.000

Rₘ₁ = 10 Ω·(1.000 - 1)

Rₘ₁ = 10 Ω·999

Rₘ₁ = 9.990 Ω

m₂ = 2.000

Diagrama de un circuito para medir tensión

Rₘ₂ = 10 Ω·(2.000 - 1) - Rₘ₁

Rₘ₂ = 10 Ω·1.999 - 9.990 Ω

Rₘ₂ = 19.999 Ω - 9.990 Ω

Rₘ₂ = 10.000 Ω

m₃ = 5.000

Rₘ₃ = 10 Ω·(5.000 - 1) - Rₘ₁ - Rₘ₂

Rₘ₃ = 10 Ω·4.999 - 10.000 Ω - 9.990 Ω

Rₘ₃ = 49.990 Ω - 19.990 Ω

Rₘ₃ = 30.000 Ω

m₄ = 10.000

Rₘ₄ = 10 Ω·(10.000 - 1) - Rₘ₁ - Rₘ₂ - Rₘ₃

Rₘ₄ = 10 Ω·9.999 - 10.000 Ω - 9.990 Ω - 30.000 Ω

Rₘ₄ = 99.990 Ω - 49.990 Ω

Rₘ₄ = 50.000 Ω

Diagrama de un circuito para medir tensión

Las resistencias internas equivalentes del voltímetro son muy grandes. El voltímetro se conecta en paralelo.

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

¿Qué es una corriente de malla?